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微分積分学の初期値問題です。解き方と解説お願いします。2個目...

微分積分学の初期値問題です。解き方と解説お願いします。2個目が答えです。

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
G_Imamura先生
先生
先生 の回答 2か月前
(2)特性方程式 λ^2 - 2λ +6 =0 の解は λ = 1 ± √5 i になるので
一般解は y = e^x (C1 cos √5 x + C2 sin √5 x )
 y(0)=1より、C1=1
y' = e^x ( cos√5 x + C2 sin √5 x - √5 sin √5 x + √5 C2 cos √5 x ) となり
y'(0) = 6 より、1 + √5 C2 =6、C2=√5 となるので解答のとおりの解となります。
あなたがベストアンサーに選んだ
G_Imamura
さんは先生をしています

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keisangakkou
生徒
さん の回答 2か月前
 とりあえず 最初のみ。 すみません。

y ' + 3 y = 0  を とくと 変数分離型で、 y ' = d y / d x  より   d y / d x + 3 y = 0   →  d y / y = - 3 d x

 →  ∫ d y / y = - 3 ∫ d x   →   ln l y l = - 3 x + Co   →   y = ± e ^ ( - 3 x + Co ) = C1 e^ ( - 3 x )  

 次に   C1 = Z ( x )  とおきます。

  y = Z ( x ) e^ ( - 3 x )  ① →   y ' = Z ' ( x ) e^ ( - 3 x ) + Z ( x ) ( - 3 ) e ^ ( - 3 x ) = Z ' ( x ) e ^ ( - 3 x ) - 3 Z ( x ) e ^ ( - 3 x )  ②  より

   ① 、 ② を y ' + 3 y = 2 e^ ( - x )  に 代入して、

  Z ' ( x ) e^ ( - 3 x ) - 3 Z ( x ) e ^ ( - 3 x ) + 3 Z ( x ) e ^ ( - 3 x ) = 2 e ^ ( - x )

 →   Z ' ( x ) e ^ ( - 3 x ) = 2 e^ ( - x )    →  両辺   e ^ ( 3 x )  倍 して、   Z ' ( x ) = 2 e ^ ( 2 x )

  →    Z ( x ) = 2 ∫ e^ ( 2 x ) d x = e^ ( 2 x ) + C2   →  ① に代入して、

  y = ( e^ ( 2 x ) + C2 ) e^ ( - 3 x )   →   x = 0  のとき、   y = - 2  より   1 + C2 = - 2   →   C2 = - 3

y ( e^ ( 2 x ) - 3 ) e ^ ( - 3 x ) = e^ ( - x ) - 3 e ^ ( - 3 x )

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