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四角の22番 f(x)を微分するところまでf‘(x)=2(x...

■どこまで理解しているか


四角の22番
f(x)を微分するところまで

■どこが具体的にわからないか


f‘(x)=2(x+1)(2x^2-2x+5)のとき、f(x)の最小値がf(-1)になる理由が分かりません
f’(x)=0の解が -1だけだから、f(x)は極値を持たず、単調に増加するか 単調に減少する関数になると思うんですが、間違っていますか?

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
keisangakkou
生徒
さん の回答 2か月前
 実際に 増減表 を 書くと

   x < - 1  で  f ' ( x ) < 0  減少

x = - 1  で  f ' ( x ) = 0

 x > 1 で  f ' ( x ) > 0     増加

 になり、 x=-1 で f(x) は 最小になるようですが・・・

 x は 『すべての実数』 ですし、

  f ' ( x ) = 2 ( x + 1 ) ( 2 x^2 - 2 x + 5 )  で   2 x^2 - 2 x + 5 = 2 ( x - 1 / 2 ) ^2 + 9 / 2 > 0  で いつも 正 なので、 f' ( x ) は x+1 だけで 符号がきまります。
  • 理解できました!回答ありがとうございました!

    2か月前
  •  ちなみに別解ですが 微分を使わなくても 左辺ー右辺≧0 でも 証明できます。


     左辺ー右辺= x^4 + 3 x^2 - ( - 1 0 x - 6 ) = x^4 + 3 x^2 + 1 0 x + 6 = ( x + 1 )^2 ( x^2 - 2 x + 6 )


    x^2 - 2 x + 6 = x^2 - 2 x + 1 + 5 = ( x - 1 ) ^2 + 5  より


     左辺ー右辺= ( x + 1 ) ^2 ( ( x - 1 ) ^2 + 5 ) = ( x + 1 ) ^2 ( x - 1 ) ^2 + 5 ( x + 1 ) ^2 ≧0


    ゆえに 左辺 ≧ 右辺


      x ^4 + 3 x^2 + 1 0 x + 6  は因数分解できることに注意です。

    2か月前
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AZUKIS4845
生徒
さん の回答 2か月前
>f’(x)=0の解が -1だけだから、f(x)は極値を持たず、単調に増加するか 単調に減少する関数になると思うんですが、間違っていますか?

誤り。

極値というのはf’(x)=0の個数で決まるわけではない。
f’(x)=0の前後で符号が変わることで極値になる。
したがって、f’(x)=0となるのが1個であろうと
極値は存在し得ます。
  • 理解が甘かったです 回答ありがとうございました!

    2か月前
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