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昨日、投稿した問題の解答を、アドバイスしてくれた方々のご指摘...

■考えている内容や答え


昨日、投稿した問題の解答を、アドバイスしてくれた方々のご指摘を踏まえて修正しました。

■特に不安な点や、確認したいこと


再度答案を作りましたので、解答に不備があれば、助言を頂けるとうれしいです。
問題文も書き写しました。

問題
 相手から得点を得るゲームがある。相手より多い得点を得たら勝ち、少ないなら負け、
同じ点数なら引き分けとする。4チームが総当たりのリーグ戦を行う。チームの順位付けは
以下のように定めたとしよう。

(1) 勝者に勝ち点2、引き分けは両者に勝ち点1を与える。敗者には勝ち点は与えない。
(2) 勝ち点の多い者が上位となる。
(3) 勝ち点が同じときは、相手から得た得点の総和から自分が取られた得点の総和を引いた値の多い者が上位となる。
(4)(3)も同じときは、相手から得た得点の総和が多い者が上位となる。
(5)(4)も同じときはくじ引きで上位を決める。

A、B、C、Dの4チームがそれぞれ2回ゲームを行った時点で、以下の結果となった。

チーム   チームの得点  相手の得点  相手
 A      2        2     B
 A      2        0     C
 B      1        1     D.    
 C      2        1     D

残るAチームとDチーム、BチームとCチームの試合を、勝ち負け、引き分け、点差などで
場合分けし、最終的にAチームが2位以内になる場合をすべて示せ。


解答
・「AチームがDチームに勝った場合」
・「Aチーム対Dチームの試合が引き分けである場合」
・「AチームがDチームに1点差で負け、Bチーム対Cチームの試合でどちらかが勝った場合」
・「AチームがDチームに1点差で負け、Bチーム対Cチームが引き分けた場合」
・「AチームがDチームに2点差で負け、Bチーム対Cチームが引き分け、AチームがDチームから得た得点が、BチームがCチームから得た得点以上である場合」
・「AチームがDチームに2点差で負け、Bチーム対Cチームが引き分け、AチームがDチームから得た得点が、BチームがCチームから得た得点より1点低く、かつくじ引きでAチームが勝った場合」



解き方
表の結果から以下のことがわかる。
・A対Bは引き分けである。よって、AもBも勝ち点1を獲得。
・A対CはAが勝ち、Cが負けている。よって、Aが勝ち点2を獲得、Cは勝ち点0。
・B対Dは引き分けである。よって、BもDも勝ち点1を獲得。
・C対DはCが勝ち、Dが負けている。よって、Cが勝ち点2を獲得。Dは勝ち点0.

この時点でAの勝ち点は3、Bの勝ち点は2、Cの勝ち点は2、Dの勝ち点は1である。

残りのA対D、B対Cの試合で、最終的にAが2位以内になる場合を考える。
A対DでAが取った得点をa点、Dが取った得点をd点とする。
B対CでBが取った得点をb点、Cが取った得点をc点とする。

AがDに勝つと(a>d)、Aが勝ち点5となり、B対Cの試合結果に関係なく、Aが必然的に1位になる。
よって答えの一つが「AチームがDチームに勝った場合」

AとDが引き分けた場合について考える。(a=d)
このとき、Aは勝ち点4、Dは勝ち点2となる。
BとCはどちらも勝ち点2であり、あと1試合をやっても最大で勝ち点4までしか伸ばせない。
よって、BとCの試合結果に関係なく必然的にAは2位以内になる。
答えの一つが「Aチーム対Dチームの試合が引き分けである場合」


AがDに負けた場合について考える。(a<d)
Aが勝ち点3、Dが勝ち点3になる。BかCのどちらかが勝った場合、AとDが2位になり場合分けが発生する。
ここで条件(3)「勝ち点が同じときは、相手から得た得点の総和から自分が取られた得点の総和を引いた
値の多い者が上位となる。」を用いる。
Aが得た得点の総和「Bから2点、Cから2点、Dからa点」により、4+a得点
Aが取られた得点の総和「Bから2点、Cから0点、Dからd点」により、2+d点
「4+a」-「2+d」より、Aの得失点差は「2+a-d」

Dが得た得点総和「Aからd点、Bから1点、Cから1点」、よって2+d点
Dの総失点「Aからa点、Bから1点、Cから2点」、よって3+a点
「2+d」-「3+a」より、Dの得失点差は「-1+d-a」
得失点差でAがDより多ければ、Aが2位になるのだから
2+a-d>-1+d-aになればよい。
これを整理すると1.5>d-aになるのでd-aが1の場合である。
よって答えの一つに
「AがDに1点差で負け、BとCの試合でどちらかがが勝った場合」

AがDに負け(a<d)、BとCが引き分けた場合(b=c)
勝ち点が全チーム3点となり、条件(3)の得失点差を用いる
Aの得失点差は2+a-d、Dの得失点差は-1+d-a

Cの得点総和「Aから0点、Bからc点、Dから2点」よって2+c
Cの失点総和「Aから2点、Bからb点、Dから1点」よって3+c
Cの得失点差は「2+c」-「3+b」となり(b=c)なので、値は-1

Bの得点総和「Aから2点、Cからb点、Dから1点」よって3+b
Bの失点総和「Aから2点、Cからc点、Dから1点」よって3+c
Bの得失点差は「3+b」-「3+c」になりb=cなので、値は0
得失点差によりBはCより上位となる。

ここでAの得失点差は2+a-d、Dの得失点差は-1+d-aの比較を考える。
「d-a」の値が1であると(つまり、AがDに1点差で負けた場合)は、Aの得失点差が1、Dの得失点差が0となり、Aが1位になる。
よって答えの一つに
「AがDに1点差で負け、BとCが引き分けた場合」

「d-a」の値が2であると(つまり、AがDに2点差で負けた場合)は、Aの得失点差が0、Dの得失点差が1となり、Dが1位、AとBと2位になる。
ここで条件(4)「(3)も同じときは、相手から得た得点の総和が多い者が上位となる。」
を用いる。
Aの総得点は「4+a」、Bの総得点は「3+b」。この両者の比較が必要になる。
4+a>3+bであれば、Aが2位になる。つまりa≧bであればよい。
よって答えの一つに
「AがDに2点差で負け、BとCが引き分け、AがDから得た得点が、BがCから得た得点以上である場合」

4+a=3+bのとき、つまりa=b-1のときは、条件(5)が適用され、くじ引きでAが勝つとAが2位になる。
よって答えの一つに
「AがDに2点差で負け、BとCが引き分け、AがDから得た得点が、BがCから得た得点より1点低く、かつくじ引きでAが勝った場合」

「d-a」が3のときは、Dが1位、Bが2位、CとAが両方とも3位となり、適応外である。

以上です。

回答(1件)

AZUKIS4845
生徒
さん の回答 2週間前
いいと思います。

ただ、「Aの1点差負け」は無条件で2位以上になりますから
その後の条件は必要ないです。
  • AZUKIS4845 さん

    ご返信ありがとうございます。

    ためになるアドバイスもいただき、感謝です。


    2週間前
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