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一通り解答を作れました。導き方や答えが合っているかが気になる...

■考えている内容や答え


一通り解答を作れました。導き方や答えが合っているかが気になるので、ご指摘いただけると助かります。

■特に不安な点や、確認したいこと


私の解き方や考え方、解答が正しいのかを確認してもらえたらなと思っております。

解答
・「AチームがDチームに勝った場合」
・「AチームがDチームに1点差で負け、Bチーム対Cチームの試合でどちらかが勝った場合」
・「AチームがDチームに負け、Bチーム対Cチームの試合が引き分けの場合」
・「Aチーム対Dチームの試合が引き分けである場合」


解き方
表の結果から以下のことがわかる。
・A対Bは引き分けである。よって、AもBも勝ち点1を獲得。
・A対CはAが勝ち、Cが負けている。よって、Aが勝ち点2を獲得、Cは勝ち点0。
・B対Dは引き分けである。よって、BもDも勝ち点1を獲得。
・C対DはCが勝ち、Dが負けている。よって、Cが勝ち点2を獲得。Dは勝ち点0.

この時点でAの勝ち点は3、Bの勝ち点は2、Cの勝ち点は2、Dの勝ち点は1である。


残りのA対D、B対Cの試合で、最終的にAが2位以内になる場合を考える。
A対DでAが取った得点をa点、Dが取って得点をd点とする。
B対CでBが取った得点をb点、Cが取った得点をc点とする。

AがDに勝つと(a>d)、Aが勝ち点5となり、B対Cの試合結果に関係なく、Aが必然的に1位になる。
よって答えの一つが「AチームがDチームに勝った場合」

AがDに負けた場合を考える。(a<d)
Aは勝ち点3、Dは勝ち点3となる。B対Cでどちらかが勝つと、AとDが両方とも2位となり、場合分けが発生する。
ここで条件(3)の「勝ち点が同じときは、相手から得た得点の総和から自分が取られた得点の総和を引いた値の多い者が上位になる。」
を用いる。
Aが得た得点の総和は「Bから2点、Cから2点、Dからa点」なので、4+a
Aが取られた得点の総和は「Bから2点、Cから0点、Dからd点」なので、2+d
「4+a」-「2+d」より、2+a-d・・・①
Dが得た得点の総和は「Aからd点、Bから1点、Cから1点」、よって2+d点
Dが取られた得点総和は「Aからa点、Bから1点、Cから2点」、よって3+a点
「2+d」-「3+a」より、-1+d-a・・・②
①>②、つまり2+a-d>-1+d-aになればAが2位になる。
2+a-d>-1+d-aを整理すると、1.5>d-aとなり、d-aが1の場合である。
よって答えの一つに「AチームがDチームに1点差で負け、Bチーム対Cチームの試合でどちらかが勝った場合」

AがDに負け(a<d)、BとCが引き分けた場合(b=c)
勝ち点が全チーム3点となり、必然的に全チームが1位となり、Aチームも1位である。
よって「AチームがDチームに負け、Bチーム対Cチームの試合が引き分けの場合」

A対Dが引き分けの場合について考える(a=d)
このとき、Aは勝ち点4、Dは勝ち点2となる。
BとCはどちらも勝ち点2であり、両者が試合をしても勝ち点は4までしか伸ばせない
したがって、B対Cの試合結果に関係なく、必然的にAは2位以内になる。
よって、答えの一つに
「Aチーム対Dチームの試合が引き分けである場合」

以上です。

1か月前

回答(2件)

アラタ
生徒
さん の回答 1か月前
チームの順位付けのルール(3)~(5)からすると、同順位というのは認めないみたいです。
質問者さんの答案は、同順位を認めることを前提にした考え方が使われているところがあります。
例えば全チーム勝ち点3になった後は、ルール(3)以降が適用されて、順位付けをしていくことになると思います。
  • アラタさん

    貴重なご指摘ありがとうございます。同順位を認めないことを踏まえて、再度考えます。

    1か月前
  • 私の結果は以下。正解は知らないので質問者さんの解答と照らし合わせて違っているようでしたら、こちらの内容見直してみます。

    ----

    AチームがDチームに勝ち

    →勝ち点でAチームが1位

    Aチーム対Dチームは引き分け

    →勝ち点でAチームが1位または2位

    AチームがDチームに1点差で負け

    →得失点差でAチームが2位

    AチームがDチームに2点差で負け、かつBとCはAと同じ得点で引き分け

    →総得点でAチームが2位

    AチームがDチームに2点差で負け、かつBとCはAの得点+1で引き分け、かつAとBのくじ引きでAが勝つ

    →くじ引きでAチームが2位

    1か月前
  • アラタさん

    結果まで、示してくれて感謝しております。

    この解答になるように十分に考えます。

    1か月前
  • 表にすると以下のようになります。全ケース網羅されてると思います。

    1か月前
  • アラタさん

    わかりやすい表まで作成してくれてありがとうございます。

    ぜひ参考にします。何度もアドバイスしていただきうれしいです。

    1か月前
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AZUKIS4845
生徒
さん の回答 1か月前
Aが負けの場合をもう一度考えてみてください。

この場合、得失点差や総得点が絡んできます。
  • AZUKIS4845 さん

    ご指摘ありがとうございます。


    Aが負けの場合をもう一度考えました。


    AがDに負けた場合を考える。(a<d)

    Aは勝ち点3、Dは勝ち点3となる。B対Cでどちらかが勝つと、AとDが両方とも2位となり、場合分けが発生する。

    ここで条件(3)の「勝ち点が同じときは、相手から得た得点の総和から自分が取られた得点の総和を引いた値の多い者が上位になる。」

    を用いる。

    Aが得た得点の総和は「Bから2点、Cから2点、Dからa点」なので、4+a

    Aが取られた得点の総和は「Bから2点、Cから0点、Dからd点」なので、2+d

    「4+a」-「2+d」より、2+a-d・・・①

    Dが得た得点の総和は「Aからd点、Bから1点、Cから1点」、よって2+d点

    Dが取られた得点総和は「Aからa点、Bから1点、Cから2点」、よって3+a点

    「2+d」-「3+a」より、-1+d-a・・・②

    ①>②、つまり2+a-d>-1+d-aになればAが2位になる。

    2+a-d>-1+d-aを整理すると、1.5>d-aとなり、d-aが1の場合である。

    よって答えの一つに「AチームがDチームに1点差で負け、Bチーム対Cチームの試合でどちらかが勝った場合」

    ①=②の可能性もあります。この場合ルール(4)の「(3)も同じときは、相手から得た得点の総和が多い者が上位となる。」を用います。

    つまり、Aの得点総和4+aがDの得点総和2+dより多いときであるので、

    4+a>2+dが成り立つ。これを整理すると、2>d-aとなり、d-aが1の場合である。これは先の「AチームがDチームに1点差で負け、Bチーム対Cチームの試合でどちらかが勝った場合」と同じになってしまいます。

    AがDに負け(a<d)、BとCが引き分けた場合(b=c)

    勝ち点が全チーム3点となる。ここでAチームが2位以内になる場合を考えます。

    ルール(3)「勝ち点が同じときは、相手から得た得点の総和から自分が取られた得点の総和を引いた値の多い者が上位になる。」を用いる。

    Bの得点総和は「Aから2点、Cからb点、Dから1点」より3+b点

    Bの失点総和は「Aから2点、Cからc点、Dから1点」より3+c点

    したがってBの得失点差は0点

    Cの得点総和は「Aから0点、Bからc点、Dから2点」より2+c点

    Cの失点総和は「Aから2点、Bからb点、Dから1点」より3+b点

    したがってCの得失点差は-1点

    Aの得失点差は2+a-d、Dの得失点差は-1+d-aである。

    Aの得失点差が、Bの得失点差である0点より多ければ、Aは2位以内になる。

    つまり、2+a-d>0。整理すると2>d-aとなり、

    「AチームがDチームに1点差で負け、BチームとCチームが引き分けた場合」になりますが、これだと先の「AチームがDチームに1点差で負け、Bチーム対Cチームの試合でどちらかが勝った場合」と矛盾してしまいます。この先がわからず、限界になりました。正しい導き方を教えていただけるとうれしいです。


    1か月前
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