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3行目以降が分かりません。(青ラインの所)、

■どこまで理解しているか


3行目以降が分かりません。(青ラインの所)

■どこが具体的にわからないか




1週間前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
keisangakkou
生徒
さん の回答 1週間前
  n≧3 のとき n log n > ( n - 1 ) log ( n + 1 )  を示す。  →  ( n - 1 ) log n + log n > ( n - 1 ) log ( n + 1 )  と同じ。 

 →   log n > ( n - 1 ) ( log ( n + 1 ) - log n )  を示すのと同じ。

 ∫ 1 / x d x = log x + C  を 利用して、  n ≦ x ≦ n + 1  で積分して、

 ∫ 1 / x d x = log ( n + 1 ) - log n

  つまり ∫ 1 / x d x を 計算して、 x=n+1 を代入して、そこから x=n を代入したものを引いたんです。

 一方、 ∫1 / ( n - 1 ) d x = x / ( n - 1 ) + C ( nではなくて、xで積分することに注意) を利用して、

 ∫ 1 / ( n - 1 ) d x = ( n + 1 ) / ( n - 1 ) - n / ( n - 1 ) = 1 / ( n - 1 )

 つまり ∫ 1 / ( n - 1 ) d x を求めて、x=n+1を代入して、そこから x=n を代入したものを引いたんです。

 この  y = 1 / x  と  y = 1 / ( n - 1 )  のグラフを xy平面に書いてみて、  n ≦ x ≦ n + 1  に注目すると、

  y = 1 / x と x軸で囲まれた面積よりも  y = 1 / ( n - 1 ) と x軸で囲まれた面積のほうが大きいことがわかります。

  ゆえに ∫ 1 / x d x < ∫ 1 / ( n - 1 ) d x   →  ( n - 1 ) ∫ 1 / x d x < ( n - 1 ) ∫ 1 / ( n - 1 ) d x

   →  ( n - 1 ) ( log ( n + 1 ) - log n ) = ( n - 1 ) ∫ 1 / x d x < ( n - 1 ) ∫ 1 / ( n - 1 ) d x = 1 < log n

  log n の底は自然対数の底 e = 2 . 7  ・・・ で n は 3以上なので  log n > 1  です。

   以上です。 違ってたら すみません。

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