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関数f、gが実数全体で連続であるとき、max{f,g}が実数...

関数f、gが実数全体で連続であるとき、max{f,g}が実数全体で連続であることをεδ論法で示そうと思っています。

max{f,g}=(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)/2となります。

aを実数として、|x-a|<δ⇒|max{f(x),g(x)}-max{f(a),g(a)}|<εとなるようなδを取るのですが、以下の計算は正しいでしょうか?

任意のε>0において、|x-a|<δ_1⇒|f(x)-f(a)|<ε/2、|x-a|<δ_2⇒|g(x)-g(a)|<ε/2となるδ_1、δ_2が存在する。

δ=min{δ_1,δ_2}と取ると、
|(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)/2-(f(a)+g(a)+|f(a)-g(a)|)/2|
=|(f(x)-f(a)+g(x)-g(a)+|f(x)-g(x)|-|f(a)-g(a)||/2
≦|f(x)-f(a)|/2+|g(x)-g(a)|/2+||f(x)-g(x)|-|-f(a)+g(a)||/2
≦|f(x)-f(a)|/2+|g(x)-g(a)|/2+|f(x)-g(x)-f(a)+g(a)|/2
=|f(x)-f(a)|/2+|g(x)-g(a)|/2+|{f(x)-f(a)}-{g(x)-g(a)}|/2
≦|f(x)-f(a)|/2+|g(x)-g(a)|/2+|f(x)-f(a)|/2+|g(x)-g(a)|/2
=|f(x)-f(a)|+|g(x)-g(a)|<ε

より任意のε>0で、|x-a|<δ⇒|max{f(x),g(x)}-max{f(a),g(a)}|<εとなるようなδ>0を取れる。

よってmax{f(x),g(x)}は実数全体で連続である。

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