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高校数学の質問

ローラン展開は理解しています。画像の式において、なぜ1の留数...

■どこまで理解しているか


ローラン展開は理解しています。

■どこが具体的にわからないか


画像の式において、なぜ1の留数とは式14の
、1/z-1の係数なのでしょうか？
過程の計算を詳しく教えてください。

ローラン展開は理解しています。画像の式において、なぜ1の留数... 画像ビューアで開く ローラン展開は理解しています。画像の式において、なぜ1の留数... 画像ビューアで開く
5か月前
carlos1995 さんの質問

回答(1件)

tamu先生
先生
先生 の回答 5か月前
それが留数の定義です。
f(z)のz=aの留数とは、z=aのまわりでローラン展開したときの1/(z-a)の係数の事です。

  • どうもありがとうございます。

    あの、式14と解説にある1/z-1の式の関係はなんですか？

    過程の計算を用いて説明して頂けるとありがたいです。

    5か月前

    carlos1995

  • 式14をΣを使わずに書くと

    f(z)=1/2*1/(z-1)-1/4*1/(z-1)^2+1/8*1/(z-1)^3-…

    になるので、これの1/(z-1)の係数を求めます。

    5か月前

    tamu

    先生

  • わざわざありがとうございます。

    あの、ちなみに(1)をローラン展開すると式14になるのでしょうか？その時の(n=)1が積分で1/2×2πiになり、係数1/2と導かれるのでしょうか？

    5か月前

    carlos1995

  • (1)をローラン展開すると式14になるならば、その過程の計算を知りたいです。

    どうかよろしくお願い致します。

    5か月前

    carlos1995

  • (1)をローラン展開したものが式14です。

    ローラン展開は積分で計算することはほぼないです。


    1/(z^-1)=1/(z-1)(z+1)

    ここで1/(z+1)をz=1のまわりでテイラー展開する。

    {1/(z+1)}^(n)=(-1)^n*n!/(z+1)^(n+1)

    より、テイラー展開は

    1/(z+1)=Σ(-1)^n/2^(n+1)(z-1)^n

    です。


    両辺を1/(z-1)で割ると式14になります。


    5か月前

    tamu

    先生

  • テイラー展開したのですか！？

    だとしたら、こちらのサイトのhttps://www.docdroid.net/QpMKGPS/d4-pdf#page=3

    式12のローラン展開の公式はなぜ使わないのでしょか？

    それとも1/(z^2-1)=1/(z-1)(z+1)の分母1/(z-1)(z+1)のように1/(z-1)の形の式を式に含めることがローラン展開というのでしょうか？(違う場合は(1)の式をローラン展開の式にするにはどうしたらいいのでしょうか？)そして、シグマの式にするためにテイラー展開の公式を使ったのですか？


    またテイラー展開は分母が0になるような式を展開できないと思うのですが、z=1の時は分母が0にはならないためテイラー展開が使えるということでしょうか？

    5か月前

    carlos1995

  • 補足の質問ですいません。今回の質問とは少しずれているかもしれないですが、

    ＞＞(違う場合は(1)の式をローラン展開の式にするにはどうしたらいいのでしょうか？)

    に関して、

    例えば1/sinθについてローラン展開する場合は、先ほど載せましたサイトの式12のローラン展開の公式に式1/sinθを代入すればいいのでしょうか？

    5か月前

    carlos1995

  • テイラー展開は(z-a)^nの和で表す事で、ローラン展開は1/(z-a)^nも許します。

    式12はローラン展開ですが、anの求め方については何も分かりません。


    1/(z^2-1)だとテイラー展開はできませんが、1/(z+1)は分母が0にならないのでテイラー展開できます。

    5か月前

    tamu

    先生

  • どうもありがとうございます。

    質問の留数を求める問題とは変わり、ローラン展開の正側とテイラー展開の式は同じ式という事に関して、

    ちなみに、画像の式でz=0の時はテイラー展開出来ないため1/zが1(z-0)としてローラン展開の式として得られますが、

    仮にz=1の場合は、1/zは1(z-0)としてローラン展開した後にテイラー展開をして、ローラン展開の式を求めても良いし、1/zからテイラー展開してテイラー展開の式を得ても良い。そして、そのテイラー展開から得た式の分母をz-0としても、前者のローラン展開を整理しても後者と同じ式になるためローラン展開の正側とテイラー展開の式は同じというわけでしょうか？

    5か月前

    carlos1995

  • すみません

    言いたいことがわかりません

    5か月前

    tamu

    先生
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