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大学数学の線形代数学、スペクトル分解、行列の平方根についての...

大学数学の線形代数学、スペクトル分解、行列の平方根についての質問です。

Aを正定値実対称行列とします。そして例えば固有値を2つ持っていたとします。その2つの固有値をλ_1、λ_2とします。

A=(λ_1)P+(λ_2)Qと一意的にスペクトル分解できると思います。さらにAは正定値なので、固有値はλ_1もλ_2も正です。

この時、行列Aの平方根の逆行列を考えたいのですが、
A^(-1/2)=(1/√(λ_1))P+(1/√(λ_2))Q
A^(-1/2)=(1/√(λ_1))P-(1/√(λ_2))Q
A^(-1/2)=-(1/√(λ_1))P+(1/√(λ_2))Q
A^(-1/2)=-(1/√(λ_1))P-(1√(λ_2))Q
の4つしかないという認識で正しいでしょうか?

そして、A^(-1/2)が正定値という条件を付せば、
A^(-1/2)=(1/√(λ_1))P+(1/√(λ_2))Q
と一通りに定まるという認識で大丈夫でしょうか?

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
tamu先生
先生
先生 の回答 6か月前
Aの平方根とは
X^2=A
を満たす行列Xですか?

例えば
Aを2次の単位行列
X=(1 0
0 -1)
としたら、XはAの平方根の逆行列ですが、Xのスペクトル分解は
X=1(1 0
0 0)
+(-1)(0 0
0 1)
となります。(見づらくてすみません。)
  • 固有方程式が重解を持つケースが考えられていませんでした。

    もう一度思考し直してみます。ご回答ありがとうございました。

    6か月前
  • ありがとうございます。

    6か月前
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tamu
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