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大学数学の問題です。 問4.14をはさみうちの原理で解きた...

大学数学の問題です。

問4.14をはさみうちの原理で解きたいのですが、赤線部分をどう-εで下からおさえれば良いか分かりません。

回答(1件)

tamu先生
先生
先生 の回答 8か月前
定理2.1は平均の不等式なんですか?
とりあえずa>0と仮定して証明します。
a=0の時は細かい処理が必要になります。

ε>0に対して、自然数Nが存在して
n>Nならば|an-a|<ε
となります。

ε<aとしておけば、a-ε>0なので
n>Nに対して
1/a[n]<1/(a-ε)

よって
1/a[1]+…+1/a[N]+1/a[N+1]+…+1/a[n]<1/a[1]+…+1/a[N]+(n-N)×1/(a-ε)
n/(1/a[1]+…+1/a[N]+(n-N)×1/(a-ε))<n/(1/a[1]+…+1/a[n])
です。
左辺→a-ε
より
a-ε≦lim[n]√(a[1]…a[n])
εは任意なので
a≦lim[n]√(a[1]…a[n])
です。

もっと上手い方法がある気がします。
  • すみません。定理2.1というのはチェザロ平均のことです。

    8か月前
  • それならlogをとれば、はさみうちの原理を使わなくても証明できると思います。

    8か月前

    tamu

    先生
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