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模範解答では、2つの方程式からxを消去してできたyの方程式が...

■考えている内容や答え


模範解答では、2つの方程式からxを消去してできたyの方程式が-√2/2<y<√2/2の範囲に実数解を2個持てば良い(yの値1つに対応する共有点の個数は2つだから)として話を進めていますが、その逆で、
2つの方程式からyを消去してできたxの方程式が-1<x<1の範囲に実数解を4個持てば良い(xの値1つに対応する共有点の個数は1つだから)としてはいけませんか?

■特に不安な点や、確認したいこと


実際にその方針でやってみると、2つの方程式からyを消去してできたxの方程式が4x^4+(8+4a)x^2+a^2-8=0となります。左辺の導関数から左辺の式とx軸との交点について調べてみると、この方程式はaがどのような値をとっても実数解が2個以下にしかならず、困っています。(実際の答えである-3<a<-2√2の中からa=0やa=1などを代入して調べてもみましたが、やはり交点は4個にはなりませんでした)自分の考えのどこに間違いがあったのでしょうか。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
石川 正昭先生
先生
先生 の回答 10か月前
その方針でも解けるはずです。

ちょっと気になったのは、
 g(x)=4x^4+(8+4a)x^2+a^2-8
の導関数の計算です。それは正しく計算できていますか?

導関数は、
 g'(x)=16x^3+8(2+a)x
となりますから、a<-2であればg'(x)=0となるxが3つ存在します。

また「-3<a<-2√2の中からa=0やa=1などを代入して」とありますが、a=0やa=1はその範囲内にありませんから、交点4つにはならないです。
  • 確かに導関数の計算に間違いがありました。計算し直してみたら、確かに4点でx軸と交わるような場合もあることがわかりました。

    「-3<a<-2√2の中からa=0やa=1などを代入して」は-2√2を2√2に見間違えていましたね。回答していただくまで全然気づきませんでした。


    全て納得できました。早い回答ありがとうございました。助かりました。


    10か月前
  • 回答ありがとうございました。

    10か月前
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