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82の問題が解答を読んでもわかりません。 ⑴はまずなぜ場合わ...

82の問題が解答を読んでもわかりません。
⑴はまずなぜ場合わけをするのですか。玉の色が三色の時の計算以降が、どのように計算しているか教えてください。お願いします。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
オンライン家庭教師
こんにちは!
この問題の場合分けをわかっていない原因は、順列の知識が抜けている可能性があります。

場合の数において、「順列」はいつでもどこでも「!」や「P」で計算できるものではありません。人間の目から、「区別のつかないものが2つ以上入っている順列」は区別のつかない部分に関して重複して数えてしまう場合があるため、その分を割らなければなりません。

例えば、3つものを並び替える順列を考えてみましょう。
A,B,Cの3つを並び替える順列を計算する式は、3!で、6通り分あるというのは大丈夫ですね?この時、並び替えは以下のようになります

(A,B,C) (A,C,B) (B,A,C) (B,C,A) (C,A,B) (C,B,A)

では、A,A,Cの3つを並び替える順列はどうなるでしょうか?
ここでは、一旦、二つのAを区別するためにA₁、A₂と名付けて考えてみます。この場合はみんな区別がついているので、3!=6通り分並び替えが存在します。この時、並び替えは以下のようになります

(A₁,A₂,C) (A₁,C,A₂) (A₁,A₂,C) (A₁,C,A₂) (C,A₁,A₂) (C,A₂,A₁)

さて、問題はここから!このA₁とA₂は本来「人間の目からは区別がつかない」2つです。つまり、(A₁,A₂,C)と(A₂,A₁,C)は1と2をつけなかったら「全く同じもの」として見えているはずです。つまり、A₁とA₂の並び替えの分だけ、余計に数えてしまっているわけですね。

(A₁,A₂,C) (A₁,A₂,C) 2!分余計に数えている
(A₁,C,A₂) (A₁,C,A₂) 2!分余計に数えている
(C,A₁,A₂) (C,A₂,A₁) 2!分余計に数えている

それぞれの並び替えで、2!分余計に数えていることになりますから、全体を2!で割ると、正しい答えである3通りになります。

--------------------------------
一般に、「同じものを含む順列」を考えるときは、「同じもの」の個数分を並び替える分、割らなければなりません。例えば、「8個のものを並び替える」事象について考える場合です。この8個の中に「同じものが2つ」入っている場合は、8!÷2!をしなければなりません。また、8個の中に「Aが2つ、Bが3つ」入っている場合は、8!÷(2!×3!)をしなければなりません。

今回の問題で場合分けをしなければならないのは、玉の取り出し方によって「同じものが含まれている場合があり、その組み合わせが全く違うから」と言えます。同じ色が2つあるとき、同じ色同士で2つずつあるとき、全部違う色の時、で順列の数え方が変わってしまうわけですね。

まずはしっかりと、「同じものを含む順列」のことを理解してみましょう。そうすれば、この問題の解説が言っている意味が分かるはずです。

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あしまる
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