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xy平面上において、2点A(-2,0) B(2,0)からの距...

xy平面上において、2点A(-2,0) B(2,0)からの距離がともに整数であり、かるx座標もy座標も正の整数であるような点の集合をKとする
(1)Kに属する点Pに対して、PA-PB=2であることを示せ
(2)Kに属する点Pに対して、PA,PBはともに奇数であることを示せ
10か月前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
林 俊介
生徒
さん の回答 10か月前

こんばんは!


結構難しい問題ですね。


(1)

私は次のように証明できました。

1 PA^2 - PB^2 が偶数であることから、PA - PB も偶数であることを示す。

2 PA - PB < 4 であることを示す。

3 PA > PB であることを示す。


(2)

(1) の結果を利用します。

例えば P(2+l, m) とすると、ある整数 k を用いて

PA = (l+4)^2 + m^2 = (k+2)^2

PB = l^2 + m^2 = k^2

となります。これら 2 式の差をとりましょう。

  • PA-PBが偶数なのはどうやって示せば良いですか?

    10か月前
  • PA^2 - PB^2 が偶数であることからわかります。

    10か月前
  • PA^2-PB^2が偶数であれば絶対PA-PBになりますか?

    10か月前
  • はい、そうですね。

    もちろん、各々が整数であるという前提です。

    10か月前
  • PA+PBが偶数で PA-PBが奇数という可能性もあるのではないですか?

    10か月前
  • そうなるような PA, PB の組の例を教えてください。

    10か月前
  • ないですね。 じゃあ解答に書く場合もPA^2-PB^2が偶数より PA-PBも偶数といきなり書いてもよいでしょうか?

    10か月前
  • 流石にそれは飛躍が大きいですね。

    うまいこと書く方法を考えてみましょう。

    10か月前
  • 何度もすみません PA-PB<4が示せないです ヒント貰えませんか

    10か月前
  • ラクをしたいのであれば三角不等式を使います。

    ラクをしたくなければ、二乗して根号を外すという計算をひたすら繰り返します。

    10か月前
  • ありがとうございます

    10か月前
  • ありがとうございます

    10か月前
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