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(1)までは理解できました解説に「S_(6n)〜S_(6n-...

■どこまで理解しているか


(1)までは理解できました

■どこが具体的にわからないか


解説に「S_(6n)〜S_(6n-5)を求め、n→∞ のときこれらがすべて1/14に収束することを導く。」
とありますが 赤線部の極限は0なのに1/14になぜなるのですか?
また、緑線部にすべて1/14に収束する
とありますが、今回求めているx_nの無限級数にはa_nのような数列が無限に存在するので(1/14)×∞=∞となってしまわないのでしょうか?
(今回解説の「検討」に書いてある解き方で教えてください。)

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
林 俊介
生徒
さん の回答 10か月前

こんばんは!


>解説に「S_(6n)〜S_(6n-5)を求め、n→∞ のときこれらがすべて1/14に収束することを導く。」

とありますが 赤線部の極限は0なのに1/14になぜなるのですか?

とのことですが、むしろ数列 {x_n} の各項は 0 に収束しないと、そこから構成される和も収束しません。

数列の各項の収束と和の収束を混同していませんか?


また、

>緑線部にすべて1/14に収束する

とありますが、今回求めているx_nの無限級数にはa_nのような数列が無限に存在するので(1/14)×∞=∞となってしまわないのでしょうか?

とのことですが、こちらも混乱があるようです。

「{a_n} のような数列が無限に存在する」の意味が不明瞭なのもそうですが、1/14 というのはあくまで和 S_n 等についての話であり、数列の各項のことではありません。


数列の各項とそれらの和。これら二つは別のものであると心得、解説を読み直してみましょう。

  • 「むしろ数列 {x_n} の各項は 0 に収束しないと、そこから構成される和も収束しません。」

    とありますが、{x_n}の各項が 0 に収束しているのに{x_n}は1/14に収束するのですか?

    1/14 というのはあくまで和 S_n 等についての話であり、数列の各項のことではありません。

    とありますが今回の「検討」では S_n の計算が省かれていて、 a_n の値しか書かれていないと思います。

    どのような計算をすると 1/14 になるのでしょうか?

    10か月前
  • 1/14 に収束しているのは数列 {x_n} の各項ではなく S_n ですよ。

    その点について勘違いをしていませんか?

    10か月前
  • その点については理解しています。

    S_nは6つの項で周期的に項の値が変わると思います。

    S_nを構成する一周期(x_(6n‐5)...x_(6n))の和にlim (n→∞)を付けてあげると一周期は0に収束します。

    そのような周期を持つ無限級数S_nがなぜ1/14に収束するのか分からないです。

    10か月前
  • 「一周期」の和が 0 に収束することと、 S_n が 1/14 に収束することは矛盾しませんし、一見矛盾するものでもありません。

    したがって、どうお答えすればよいのかわからないです。

    10か月前
  • >>「一周期」の和が 0 に収束することと、 S_n が 1/14 に収束することは矛盾しませんし、一見矛盾するものでもありません。

    ということはS_nの「一周期」は限りなく0に近づきますが、それらを∞個足し合わせたら1/14に収束するということですか?

    10か月前
  • はい、その理解で正しいです!

    10か月前
  • なるほど その考え方で合っているのですね

    ありがとうございました!

    10か月前
  • なるほど その考え方で合っているのですね
    ありがとうございました!

    10か月前
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