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線形写像を示す問題について線形写像を示すためには、線形性を満...

■考えている内容や答え


線形写像を示す問題について

■特に不安な点や、確認したいこと


線形写像を示すためには、線形性を満たすことを示せばよく、
(1)f(a+b)=f(a)+f(b)
(2)f(ka)=kf(a)
(※a,bはベクトルで、a,b∈Vとする)
を示せればよいと考えております。

下記の問題(2)において、解答したのですが、f(a+b)からf(a)+f(b)という関係性を導くことができません。
どのように解答すればよいのでしょうか?
ちなみに、(k+la+ma^2)+(k+kb+mb^2)=2k+l(a+b)+m(a^2+b^2)≠k+l(a+b)+m(a+b)^2と思えてしまい証明に引っかかっている状態です。

線形性の(2)についても、強引にk'でくくりましたが、
k'(k+la+ma^2)を示すためには、k'k+lk'a+mk'a^2≠k+l(ka)+m(ka)^2と思えてしまい引っかかっています。
※kとk'が混在しており、みにくかったらすみません。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
林 俊介
生徒
さん の回答 10か月前

こんにちは!


↑a, ↑b in V について f(↑a), f(↑b) というものが登場していますが、それがよくわかりません。

f(x) はあくまで一変数関数であり、ベクトル値を引数にしません。


定義に従って、以下のように線型性を示しましょう!

  • 回答ありがとうございます!

    線形写像の定義に「f(a+b)=f(a)+f(b)」とあり、問題文に「f(x)=f(x+a)」とあったので、そのまま、xにaやbを代入して、f(a)=~,f(b)~を作ろうとしたのですが、

    そもそも、この問題は係数多項式で「Taf(x)=f(x+a)」でしたね。

    なので、「Ta(f_1(x)+f_2(x))=Ta(f_1(x))+Ta(f_2(x))」を示せればOKなのですね。


    回答いただいた通りやってみたら、すんなりと解くことができました!

    ありがとうございました。

    10か月前
  • 丁寧な回答ありがとうございました!
    完結にまとまっており、かつ見やすい形式で回答してくださったので、大変わかりやすかったです!

    10か月前
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