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広義積分の計算この問題の解法がわかりません。 特に、今回の場...

■どこまで理解しているか


広義積分の計算

■どこが具体的にわからないか


この問題の解法がわかりません。
特に、今回の場合、どのαで場合分けをすべきなのかわかっておりません。
直感的に、0<α<1、α=1、α>1でわけたら良いのかな?と思っております。

1か月前

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
学生

わんばんこ。


ε∈(0,1) に対して、F(ε,α)=∫_[x:ε→1] x^{-α}e^{-x}dx とおきます。


広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}e^{-x}dx が収束するとは、

極限 lim_[ε↓0] F(ε,α) が収束する、


ということなんですね(広義積分の定義は教科書に載っていると思うので

参照していただければ幸いに思います)。


ε∈(0,1) を固定すると、F(ε,α) は有限の値になる。

だけど、ε↓0の極限をとってしまった時には

F(ε,α)は単調に増大してしまっているのでF(ε,α)は

無限大になるかもしれない。発散しないαを教えてね、


というのが今回の問題なのですよ。

具体的な値がどうなるかということは全く聞かれていません。


今回の問題と若干違いますが、


広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}dx

が収束するαの範囲を求めよ、


という問題はおそらく教科書に載っているのではないでしょうか

(載ってなかったらすいません)。


そこでの解答はおそらく次のような感じ。


ε∈(0,1) に対して、G(ε,α)=∫_[x:ε→1] x^{-α}dx とおく。


このとき、


G(ε,α)=1/(1-α) (1-ε^{-α+1}) (ただし、0<α<1 のとき)、

G(ε,α)=1/(1-α) (1-ε^{-α+1}) (ただし、α>1 のとき)、

G(ε,α)=-log(ε) (ただし、α=1 のとき)


である(これは普通に定積分すれば分かります)。

これによると、G(ε,α) が収束するのは α<1 のときで、

これ以外の場合は G(ε,α) は正の無限大に発散する。


よって、広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}dx

が収束するαの範囲は α<1。

ちなみにα<1のときは、

lim[ε↓0]G(ε,α)=1/(1-α)

です。



ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー


今回の問題はこれをちょっとだけいじったものです。


ε∈(0,1)を固定するとき、


e^{-1} x^{-α}≦x^{-α}e^{-x}

≦e^{-0} x^{-α}・・・(1)


が区間[ε,1]の上で成り立ちますよね。

e^{-0}=1 です。


(1)の両辺を区間[ε,1]上で積分すると、


e^{-1}G(α,ε)≦F(α,ε)≦G(α,ε)・・・(2)


が成り立ちます。


α<1 のときは、lim_[ε↓0] G(α,ε)=1/(1-α) でしたから

上の(2)の右側の不等式を利用して、


lim[ε↓0]F(α,ε)≦1/(1-α)


がでます。


一方α≧1のときは、ε↓0 のとき G(α,ε) は発散していましたから

(2)の左側の不等式から F(α,ε) も発散することが分かります。


以上より、


α<1 のときに 広義積分 ∫_[x:0→1]x^{-α}e^{-x}dx が収束する、


ということが分かるわけです。


今回の問題では、α>0 が前提になっていますから、

0<α<1 というのが答えになるわけですね。


  • 大変丁寧な回答いただきまして、ありがとうございます!


    しかし「F(ε,α)=∫_[x:ε→1] x^{-α}e^{-x}dx」や「lim_[ε↓0] F(ε,α)」など、PCでの書き方だといまいち理解に自身が持てないので、

    大変恐縮なのですが、手書きした回答を画像としてアップロードしていただくことは可能でしょうか?


    お手数おかけいたしますが、何卒よろしくお願いいたします。

    1か月前
  • 再度コメント失礼いたします。

    自分なりに解釈したものをノートにまとめましたので、細かい部分合っているか見ていただいてもよろしいでしょうか?


    また、今の段階で疑問に思った部分を赤文字で番号振っておいたので、解説お願いできればと思います。全部で4つあります。


    1か月前
  • 私の回答を丁寧に読んでいただきありがとうございます。


    ① これはまさにその通りで、εは0より大きく1未満であることを主張しています。εが0に収束するときのF(ε,α)の様子を見たいので、εが1のときは考えなくてよいし、εが0のときはF(ε,α)が有限かすぐに分からない。


    ② これはリーマン積分の一般論です。有界閉区間の上の実数値連続関数はリーマン積分可能だから有限の値になります。ちなみに有限の『界』などという数学用語は存在しません。


    ③ これは何か勘違いをされています。e^{-x}のグラフを自分で書いてみて下さい。


    ④ 理由はありません。ただの誤植です。失礼しました。後で直しておきます。

    1か月前
  • ちなみに私は手書きの回答をアップロードする気は全くありません。綺麗な数式が書けるようなシステムを導入することは運営の今後の課題のひとつです。

    1か月前
  • 質問への回答ありがとうございます。

    ②について、すみません、読み間違えました。「有限な界」ではなく、「有限な値」でしたね。

    ③について、区間が(0,1)なのを忘れていました。下記グラフのとおりでしたね。

    (※緑:e^(-1/x)、赤:e^(-1))


    まとめると、この手の解法は、下か上に極限値をもつ関数を考えて、比較判定法のように使えば良いということですね!


    とてもわかりやすかったです!ありがとうございました!

    1か月前
  • とてもわかりやすかったです!

    1か月前
  • 有難うございます。

    1か月前
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個人家庭教師
被積分関数が閉区間(閉包)内で有限個の不...

被積分関数が閉区間(閉包)内で有限個の不連続点を除き一様連続であれば積分の値をもつ。すなわち積分可能というのが定義だが、

ここでは(0,1]では積分の中身が不連続点をもたないし連続。

果たしてx=0で左連続かどうか、が重要。

ここからロジカルに示すのは少し難しいですね。(不可能ではない。)

先人の人が導出した系(Cor)を使います。

fが(a ,b]で一様連続∃p<1,∃実数M a≦x≦bについて|f(x)|(x-a)^p≦M⇒∫[a→b]f(x)dxは収束する。

(教科書のどこかにのっているはずです。)


この場合は

被積分関数fが(0 ,1]で一様連続∃α<1,∃実数1 0≦x≦1について|f(x)|x^α=e^(-x)≦e^0=1⇒∫[0→1]f(x)dxは収束する。


ということで0<α<1で収束。それ以外で発散します。

  • 回答ありがとうござます。


    ご紹介いただきました系について質問があります。

    fが(a ,b]で一様連続∃p<1,∃実数M a≦x≦bについて|f(x)|(x-a)^p≦M⇒∫[a→b]f(x)dxは収束する。」

    とありますが、この文章の意味でわからない部分があるので、詳しく教えていただけますでしょうか?


    下記のように読み取ったのですが、合っていますでしょうか?

    また、一部わからない部分があります。


    fが(a ,b]で一様連続∃p<1,∃実数M」

    =「fがa<x≦pで、一様連続な1より小さいpと実数Mが存在するとき」


    「a≦x≦bについて|f(x)|(x-a)^p≦M⇒∫[a→b]f(x)dxは収束する。」

    =「a≦x≦bについて???ならば、∫[a→b]f(x)dxは収束する」


    1か月前
  • 山下 雄大

    個人家庭教師
  • fが(a ,b]で一様連続∃p<1,∃実数M a≦x≦bについて|f(x)|(x-a)^p≦M⇒∫[a→b]f(x)dxは収束する。


    こういう類の主張は確かにあるのですが、

    一様連続という仮定は制約が強すぎる気がします。


    なぜなら、


    区間 (0,1] 上で関数fが一様連続ならば fは(0,1]上で有界

    ・・・(★)


    ということが証明できます。


    今回の問題で f として x^{-α}e^{-x} を想定していると思うのですが、fって(0,1]上で非有界ですよね。


    それともう一つ。


    上の系のような一般論を使っても、

    α≧1 で発散することは分からないのではないでしょうか。

    上の一般論は収束のための十分条件であって、

    必要条件ではないですよね。



    色々差し出がましく書いてしまいました。

    お気を悪くされたら申し訳ありません。



    ちなみに(★)の証明は次のようにやるとよいですよ。


    任意の正の実数 ε に対して、ある正の実数 δ があって次の主張が成り立つ:実数x,y ∈(0,1] が |x-y|<δ を満たすなら |f(x)-f(y)|<ε である。


    これが一様連続の定義ですよね。εを固定した時に、上の主張を成り立たせるようなδが存在するので、このδを使って区間[0,1]を N:=[1/δ]+1 等分します。分点を


    0=x[0]<x[1]<・・・<x[N-1]<x[N]=1


    と書くことにしましょう。


    すると区間[0,1]は幅の長さがδ以下の小区間に分解されることになるので、どんなz∈(0,1]を取っても適当な1≦k≦N があって |z-x[k]|<δ になります。ここで一様連続性を使うと


    |f(z)| ≦ |f(z)-f([x[k]])|+|f(x[k])|

    <ε+|f(x[k])|≦ε+max_{1≦k≦N} |f(x[k])|


    です。 右辺はzによっていないので、fは有界というのが分かるわけですね。

    1か月前
  • 山下 雄大

    個人家庭教師
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