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2点の定点A、Bを通る直線のベクトル方程式について質問です。...

■考えている内容や答え


2点の定点A、Bを通る直線のベクトル方程式について質問です。
写真の①の式は教科書などに載っているベクトル方程式の表し方なのですが、②や③のような表し方ではダメなのですか?また、①の式と②の式と③の式は全てイコールで結ばれるものなのですか?

■特に不安な点や、確認したいこと


定点A、Bは固定されて動かない点で、点Pだけが動き回ってるイメージで良いのですか?

回答(2件)

オンライン家庭教師

まず,些細な計算ミスですが,

②はp=(1+t)b-taですね.


さて,結論から言うと,ベクトル方程式として①②③はすべて等価です.

tの置き換えが可能というのがポイントです.

①において,tは任意の実数を動きます.

では,t=1+sとして,①をsの式に書き換えてみます.

すると,

p=(1+s)b-sa

となり,②の式を再現します.またこのとき,t=1+sが任意の実数を動くため,sは任意の実数を動きます.

したがって,①と②は変数の置き方が異なるだけの,等価なベクトル方程式と言えます.

同様に,①において,t=1-uとして①をuの式に直すと,

p=(1-u)b+ua

となり,③の式になります.


このように,①②③は変数の置き方が異なるだけの式ということです.

どの置き方をしてもバツにはならないし,その後の答えも変わらないので,どれで考えても構いません.

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あらい
オンライン家庭教師

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私は,京都大学理学部を卒業し,現在名古屋大学の大学院に在籍しています. 大学受験では,予備校家庭教師...

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フリーランス家庭教師 名古屋大学ティーチングアシスタント
  • t=1+sという式やt=1+uとはどういう意味を持っているのでしょうか?また、これらの式の中に入っている「1」とは何ですか?

    3か月前
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あらい
さんはオンライン家庭教師をしています

オンライン家庭教師

基準が異なるだけです.①②③で求めてもらったようにそれぞれの変数で基準が異なります.

例えば,t=1として①②③のPを求めるとそれぞれ別のベクトルになります.しかし,どの場合でもPはAB上にあります.

このように,直線AB上を動く点P全体の表し方としては同じであるが,tが具体的にいくつのときにAB上のどの点に対応するのかということは異なります.

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あらい
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私は,京都大学理学部を卒業し,現在名古屋大学の大学院に在籍しています. 大学受験では,予備校家庭教師...

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  • t=1+sというのはこの写真の事ですか?しかしこの写真からすると、t=1-sになりませんか?

    3か月前
  • それは最初の回答のt=1-uの変換のことですね.(①と③の対応)

    しゅんてんさんが書いてくれたものの①と②の間の変換です.

    最初の冒頭に書きましたが,②には計算ミスがあり,正しくは,p=(1+t)b-taです.

    ①の式にt=1+sを代入すると,

    p=(1+s)b-sa

    となり,②の式の変数をtの代わりにsにしたものになります.


    まずは最初の回答をもう一度よく読んでみてください.

    3か月前

    あらい

    オンライン家庭教師
  • t=1+sという式はどのようにして導かれたのでしょうか?

    3か月前
  • 変数を書き換えて見比べればわかります.

    ①:p=(1-t)a+tb

    ②:p=-sa+(1+s)b

    です.aとbの係数が等しくなるためには,t=1+sとすれば良いです.

    t=1+sという変換をしても,tが実数全体を動いていればsも実数全体を動きます.したがって,pは結局直線上のすべての点を動きます.つまり直線の方程式になるということです.

    このように直線の方程式の与え方は1つに定まりません.

    3か月前

    あらい

    オンライン家庭教師
  • ではこの写真の例題の答えは(1-t)a+1/2tbの1つだけではないですよね?1/2b+t(a-1/2b)などもありますか?

    3か月前
  • そうです.その解答も正しいです.

    3か月前

    あらい

    オンライン家庭教師
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あらい
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※質問に添付された画像から自動で抽出しているため、一部画像と異なるテキストが入っている場合があります