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正四面体の体積が√2/12a^3になることと、点Pから△AB...

■どこまで理解しているか


正四面体の体積が√2/12a^3になることと、点Pから△ABC に垂線の足Hを下ろしたときこの点Hは△ABCの重心にならないこと

■どこが具体的にわからないか


この問題の解き方がわかりません。教えてください。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
山崎 陽子先生
先生
先生 の回答 1年前

【1.Hが底面△ABCのどこにあるかを考えます】


PA=PB=PC=4のとき、

Pから△ABCにおろした垂線の足をHとすると


AH²+PH²=AP²

BH²+PH²=BP²

CH²+PH²=CP²


また、

PA=PB=PCより、

HA=HB=CH

よって、Hは△ABCの外接円の中心である。



【2.三角比を用いて△ABCの面積を求めます】


△ABCにおいて、余弦定理より

cos∠BAC=(36+25-16)/2・6・5=3/4

したがって、sin∠BAC=√7/4


△ABCの面積をSとすると、

S=1/2・sin∠BAC・AB・AC=15√7/4



【3.三角錐の高さを求めます】


△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理より、

BC/sin∠BAC=2R

R=8√7/7

つまり、AH=BH=CH=8√7/7


△APHにおいて、三平方の定理より

PH=√(AP²-AH²)=4√21/7



【4.体積を求めます】


したがって、求める体積Vは

V=15√7/4・4√21/7・1/3=5√3


  • 丁寧に説明していただきありがとうございます!

    1年前
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山崎 陽子
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