ログイン 新規登録

お使いのブラウザ(Internet Explorer)では閲覧、ログイン、質問の作成や回答などに不具合が生じることがございます。
誠に恐れ入りますが、下記の推奨ブラウザをご利用くださいませ。

推奨ブラウザ:Google Chrome(グーグル・クローム)

ベクトル空間R3において、次のベクトルの組{e1,e2,e3...

線形代数です。(質問タグに大学数学がなかったので、高校にしました)

ベクトル空間R3において、次のベクトルの組{e1,e2,e3}は基底であることを示せ。
任意のベクトルvにおいて、(1) v=a1e1+a2e2+a3e3を満たすa1,a2,a3を具体的に求め、(2)このa1,a2,a3がただ一通りでしか表せないことを示せ。

e1=(1,1,1),e2=(1,-1,0),e3=(1,1,-2),v=(x,y,z)


とあるのですが、数値を具体的にx=3,y=4,z=5として、a1,a2,a3を求めることはできたのですが、(2)はどのようにすれば良いのでしょうか。具体的に、丁寧に教えていただけると幸いです。
よろしくお願い致します。

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
山下 雄大
生徒
さん の回答 1年前

追記:基底であることは、逆行列が求められた時点で成立する。(要望があれば教えます。) そうじゃなくても画像の(e1 e2 e3)をサラスの方法などで行列式が0ではないことを示せばいい。


任意とあるので、勝手にvを決めてはいけない。(このクラスの任意の人間が190cm以下であることを示せ、といわれて、山田君が190cm以下だからみんな190cm以下、としてはいけない)

(1)逆行列をもとめる。

(2)(a1,a2,a3)≠(b1,b2,b3)としてv=b1e1+b2e2+b3e3とすると結局(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3)となることを示す。a1+a2e2+a3e3=b1e1+b2e2+b3e3,(左辺)-(右辺)の形にして、基底の定義より一次独立であることを利用すれば係数が0で(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3)が得られる。


  • 基底を示す問題と、(1)(2)は別個だと思ってました。


    私の解答にしろもう一人の方にしろ、基底であることを(1)を解いた段階で示しているので、多分問題文の見間違いだと思います。強引に解けば、(a1,a2,a3)≠(b1,b2,b3)として、縦ベクトルt(a1,a2,a3)に左から行列(e1,e2,e3)をかけ(もちろん代入したうえで)、t(b1,b2,b3)にも左からかけると同じものをかけたのだから結果は≠になります。元々の仮定

    v=b1e1+b2e2+b3e3と反するので最初の(a1,a2,a3)≠(b1,b2,b3)がありえない、といったところでしょうか。

    1年前
  • 解の自由度が0であることと行列式が0でないことは同値です。

    1年前
回答へコメントする
小島 宗一郎先生
先生
先生 の回答 1年前

(1)

e1,e2,e3は互いに直交しています。

すなわち、e1•e2=e2•e3=e3•e1=0が成り立ちます。これは計算すればすぐにわかると思います。

v=a1e1+a2e2+a3e3

の両辺でe1との内積をとると

v•e1=a1e1•e1+a2e2•e1+a3e3•e1

v•e1=a1||e1||

∴a1=v•e1/||e1||=(x+y+z)/√3

となってa1が求まります。同様に

a2=v•e2/||e2||,a3=v•e3/||e3||が成り立つのでa2,a3が求まります。

(2)

v=a1e1+a2e2+a3e3=b1e1+b2e2+b3e3と仮定すると(1)の議論から

a1=b1=v•e1/||e1||

a2=b2=v•e2/||e2||

a3=b3=v•e3/||e3||

となるから、係数の表示は一意的です。

あなたがベストアンサーに選んだ
小島 宗一郎
さんは先生をしています

詳しくはこちら

他の質問・回答も見る