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点Oを原点とする空間に、3点A(1, 2, 0)、B(0,...

■どこまで理解しているか


点Oを原点とする空間に、3点A(1, 2, 0)、B(0, 2, 3)、C(1, 0, 3)がある。この時四面体OABCの体積を求めよ。

という問題があります。

■どこが具体的にわからないか


全然形がイメージできません。空間になると図形を書こうにも描けないのですが、どうやってアプローチしたら良いでしょうか?

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
ヒロ先生
先生
先生 の回答 1年前

まず,空間図形の問題では,基本的にベクトルで考えます。


また,xyz軸をとって図を描くことはあまりしません。問題文が複雑すぎて難解なら,理解の手助けとして図を描くのもアリでしょうが,図を描いたところで,結局は何らかの計算をしなければ求めたいものを求めることはできません。


4点の座標が与えられたときの四面体の体積の求め方については,次の記事にすべてまとめています。

https://methodology.site/volume-of-tetrahedron/


5000文字程度の記事で,具体的な入試問題を2問解説しています。

さらに「内積の図形的意味」と「外積」を利用することによって,簡単に四面体の体積を求めることができます。


あなたがベストアンサーに選んだ
ヒロ
さんは先生をしています

詳しくはこちら
林 俊介
生徒
さん の回答 1年前

こんばんは!


どのように考えてもちょっと手間はかかってしまいますね。

ただ、空間座標の図を書かずとも、淡々と問題を解くことは可能です。


解き方の一例:

まず AB, BC, CA の長さを求めます。

三辺の長さがわかれば、△ABC の面積も計算できます。例えば点 A から辺 BC に垂線を下ろし、その長さを求めれば面積もわかりますね。

△ABC を四面体の底辺とみて、高さを計算します。

そのためには、例えば3点 A, B, C を通る平面の方程式を求めましょう。

ax + by + cz = 1 などとして、連立方程式を立てればOKです。

平面の方程式がわかったら、原点とその平面の距離を計算できます。(方法は色々。)その長さが、四面体の高さになります。

あとは、底面積と高さの積にさらに 1/3 をかければ、体積が求まります。

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