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xy平面において、点F(p,0)とy軸から等距離にある点の軌...

■考えている内容や答え


xy平面において、点F(p,0)とy軸から等距離にある点の軌跡をCとする。ただしp>0とする。
⑴Cを表す方程式を求めよ
→y^2=2px-p^2
⑵C上の点P(X,Y)におけるCの接線の方程式を求めよ。ただし、Y≠0とする。

⑵について、画像に2つの解法があります。
例としてy^2=4pxで説明します。
1つ目は、放物線y^2=4pxにおいて(X,Y)における接線 yY=2p(x+X) の公式で解く

2つ目は、y^2=4pxを両辺微分し、片側にもってくると
2pdx-ydy=0より(2p,-y)・(dx,dy)=0
したがって

■特に不安な点や、確認したいこと


(X, Y)における接線は 垂直方向(2p,-Y)、通る点(X,Y)より
2p(x-X)-Y(y-Y)=0→2px-2pX-yY+Y^2=0…①
(X,Y)はy^2=4px上にあるから
Y^2=4pX これを①に代入すると…答(省)

解き方は1つではないのでこういうやり方も知っといたほうが良いと思いますが、2つ目のやり方は他の人から見てどうなのかなと思い、感想を聞きたいです。
某塾の授業なんですが、正直自分は公式でやったほうが早いし答えも出るし、本番で使う場合は公式の方がいいと思うんですが、先生はいつも導き出さないといけない!と言うのでどうなのかなと思ったわけです。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
小島 宗一郎先生
先生
先生 の回答 1年前

高校数学ではdy/dxはxの関数yの導関数として定義されているので、dx,dy単独では意味を持ちません。ただし、大学以降の数学ではdx,dyは(dx,dy)の接線方向のベクトル(勾配ベクトルと言います)として単独でも意味を持ちます。ですので、間違いではないですが、取り扱いはシビアですし、正しく厳密に理解するには相当な勉強(大学以降の数学)を要します。ですので、あまりオススメはできません。数学は論理的に理解していて初めて使う意味があります。工学系の方は使えればいい、理論の正しさは数学者が保証してくれているという立場ですが、個人的には高校数学において大切なことは、数学の理論をしっかりと理解した上で使いこなすことだと思っています。

公式の方でしたら、高校数学の範囲で論理的に導けるので、公式を自分でしっかり導出できるようにして、そして理解をし、解答するときは公式を使うというのがベターな気がします。

  • 大学の内容…
    どうりで難しいわけです。
    ありがとうございました!

    1年前
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小島 宗一郎
さんは先生をしています

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