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今までの合成問題よりかなり難しいです。この三角関数を合成する...

■どこまで理解しているか


f(θ) = 4sin^3θ - 9sinθcosθ + 4cos^3θ + 1

このθが 0 <= θ <= π の範囲を動くとき、最大値と最小値を求めよ。

まずは三角関数の合成から始めようと考えました。

■どこが具体的にわからないか


しかし、今までの合成問題よりかなり難しいです。この三角関数を合成するにはどうしたらよいでしょうか?

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
tamu先生
先生
先生 の回答 1年前

三角関数の合成は

asinθ+bsinθ=rsin(θ+α)

なので、2次以上では使えません。


sin^2θ,cos^2θなら

sin^2θ=(1-cos2θ)/2

cos^2θ=(1+cos2θ)/2

を使って1次の式に直せますが、今回はそれもできそうにないです。


今回は

t=sinθ+cosθ

とおいて、f(θ)をtを使って表してみましょう。

  • 皆さんありがとうございました。またよろしくお願いいたします。

    1年前
  • 本当に興味深い問題だと思いました。先生も今まで見てきた三角関数の問題でもずば抜けて難しいと言っていました。実際解き方がわかっても実際に解くまでにものすごく時間がかかりました。けど良い三角比の復習になりました。

    11か月前
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あなたがベストアンサーに選んだ
tamu
さんは先生をしています

詳しくはこちら
keisangakkou
生徒
さん の回答 1年前

( sin θ )^2 + ( cos θ )^2 = 1  より  ( sin θ + cos θ )^2 - 2 sin θ cos θ = 1


sin θ + cos θ = t  とおくと、 t^2 - 2 sin θ cos θ = 1   →   sin θ cos θ = ( t ^ 2 - 1) / 2


( sin θ )^3 + ( cos θ )^3 = ( sin θ + cos θ ) ( ( sin θ )^2 + ( cos θ )^2 ) - sin θ cos θ ( sin θ + cos θ ) = ( 1 - sin θ cos θ ) ( sin θ + cos θ )


f ( θ ) = 4 ( sin θ )^3 - 9 sin θ cos θ + 4 ( cos θ )^3 + 1 = 4 ( 1 - sin θ cos θ ) ( sin θ + cos θ ) - 9 sin θ cos θ + 1 = 4 t ( 1 - ( t^2 - 1 ) / 2 ) - 9 ( t^2 - 1 )/


2 + 1 = - 2 t^3 - ( 9 / 2 ) t^2 + 6 t + 1


θ の 関数を t の 関数にして 2年生で 習った微分積分で 最大値を求められませんかね。

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