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Y = x^3 - 5x + 1上の点A(2, 1)における接...

■どこまで理解しているか


Y = x^3 - 5x + 1上の点A(2, 1)における接線の方程式を求めよ。

とあります。

答えは今は出せるのですが、
微分することによって、f’(x) =3x^2 - 5にして
そこに2を代入すると7が得られます。

■どこが具体的にわからないか


微分の考え方の根本を少し質問させてください。
それ(7)が傾きになる、というのはどういうことでしょうか?
説明いただけると助かります。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
オンライン家庭教師

こんにちは!


ある微分可能な関数 y=f(x)y = f(x) 上の点 (a,f(a))(a, f(a)) における接線の傾きは、その点における導関数の値 f(a)f'(a) となります。


そもそも導関数は、

f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

のように計算されるものでした。

これは平均変化率の極限であり、それが接線の傾きになるのでしたね。

(グラフ上の2点を近づけていくと、それら2点の間の平均変化率が接線の傾きに近くという趣旨の図が、教科書などに載っているはずです。)


今回の場合 y=x35x+1y = x^3 -5x+1 であり、これより

dydx=3x25\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 5

ですので、点 (2,1)(2, -1) における接線の傾きは

3225=73\cdot 2^2 - 5 = 7

となります。

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林 俊介
オンライン家庭教師

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  • ありがとうございました。

    頭悪いのでもう少し追加させてください。


    以前は微分しただけで傾きが求められると思っていました。でもこれにその時の座標を入れてやっと傾きになるのですね。ではこの場合微分して得た3x^2-5というのが極限?でしょうか?

    5か月前
  • そうですね。

    どこでも微分可能な関数の場合、グラフ上の点の xx 座標について、接線の傾きがただ一つ定まりますよね?

    なので、「接線の傾きを示す関数」というのがあるわけです。それが導関数。

    導関数は先述の極限として求められ、今回の場合は f(x)=3x25f'(x) = 3x^2 - 5 となります。

    5か月前

    林 俊介

    オンライン家庭教師
  • ありがとうございました。助かりました。

    5か月前
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