ログイン

お使いのブラウザ(Internet Explorer)では閲覧、ログイン、質問の作成や回答などに不具合が生じることがございます。
誠に恐れ入りますが、下記の推奨ブラウザをご利用くださいませ。

推奨ブラウザ:Google Chrome(グーグル・クローム)

a^b+b^c+c^a=2abcを満たす整数abcの組を全...

a^b+b^c+c^a=2abcを満たす整数abcの組を全て求めよ
サウザー さんの質問 勉強レベル1
1週間前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
個別指導塾講師

こんばんは!


自身でどこまで考えたのか、ちゃんと述べましょうね。

いきなり「求めよ」と言われても…


さて本題ですが、a,b,ca, b, c の中に負の数があるとちょっと複雑なので、a,b,ca, b, c が自然数の場合に限定して概要を述べます。


以下、対称性より abca \leq b \leq c とします。

まず b4b \geq 4 とします。このとき、

ab+bc+ca=2abc2b2ca^b + b^c + c^a = 2abc \leq 2b^2c

であるため、bc<2b2cb^c < 2b^2 c とわかります。したがって 2b2cbc>02b^2 c - b^c > 0 です。

2b2cbc=b2(2cbc2)2b^2c - b^c = b^2(2c-b^{c-2}) なので 2cbc2>02c - b^{c-2} > 0  が必要ですが、

2cbc22c4c22c - b^{c-2} \leq 2c - 4^{c-2} ですので 2c4c2>02c-4^{c-2} > 0 が必要です。

しかし、b4b \geq 4 より c4c \geq 4 なので、上式を満たすような cc は存在しません。

ここで矛盾が生じるので、b3b \leq 3 とわかります。


以下、具体的に計算していきましょう。


b=3b = 3 のとき>

a3+3c+ca=6aca^3 + 3^c + c^a = 6ac

かつ a3ca \leq 3 \leq c となるような自然数 a,ca, c を求めます。

a3+3c+ca=6ac18ca^3 + 3^c + c^a = 6ac \leq 18c (ab=3\because a \leq b = 3 ) より 3c<18c3^c < 18c となり、これより c=3c=3 です。

したがって a3+33+3a=18aa^3 + 3^3 + 3^a = 18a なる自然数 aa33 以下のものを求めればよいのですが、これを満たすような aa は存在しません。


b=2b=2 のとき>

a2+2c+ca=4aca^2 + 2^c + c^a = 4ac をみたすような自然数 a,ca, c を求めます。

a=1a=1 のとき

1+2c+c=4c1 + 2^c + c = 4c であり、c=3c=3 のみがこれを満たします。

a=2a = 2 のとき

4+2c+c2=8c4 + 2^c + c^2 = 8c ですが、これをみたすような自然数 cc は存在しません。


b=1b=1 のとき>

a=1a=1 となり、1+1+c=2c1 + 1 + c = 2c より c=2c=2 と求まります。


以上より (a,b,c)=(1,2,3),(1,1,2)(a, b, c) = (1, 2, 3), (1, 1, 2) と求めることができました。

実際には a,b,ca, b, c の大小関係の制限はないので、これらの並び替えも正解です。


a,b,ca, b, c を自然数と限定しない場合についても、一応考えてみますね。

  • ありがとうございました。少し理解出来ました

    1週間前
回答へコメントする
あなたがベストアンサーに選んだ
林 俊介
さんは個別指導塾講師をしています

累計17,000問以上の質問から、あなたがわからない問題・回答を写真で検索しよう!

あなたと同じ問題を探そう
写真で検索する

同じ問題集の質問(29件)

文系数学の良問プラチカ 数学1・A・2・B (河合塾シリーズ 入試精選問題集 4)

文系数学の良問プラチカ 数学1・A・2・B (河合塾シリーズ 入試精選問題集 4)

問題集・参考書の情報

河合出版
  • この質問を見た人は以下の質問も見ています

  • あなたと同じ問題を探そう
    写真で検索する