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この問題の解き方を教えてください! 答え...

この問題の解き方を教えてください!
答えは27㎤です
げすと さんの質問 勉強レベル4
1週間前

回答(2件)

個別指導塾講師

こんばんは!


難しい位置にある立体ですが、二つの三角錐の体積の差として計算できます。

方法の一つは次の通りです:

あなたがベストアンサーに選んだ
林 俊介
さんは個別指導塾講師をしています

ベストアンサーに選ばれました
集団塾講師

三角柱ABC-DEFから、次の4つの立体を切り取ったその残りとして考えてみます。


(1)

 面PEFが切り口になるように立体を切ります。

 すると、三角錐P-DEF

 を切り取ることができます。


(2)

 残った立体で、

 面OCFが切り口になるように立体を切ります。

 面OAPが切り口になるように立体を切ります。

 面OFPが切り口になるように立体を切ります。

 すると、四角錐O-ACFP(ACFPが底面で、高さが決まる頂点がOの四角錐)

 を切り取ることができます。


(3)

 面OBEが切り口になるように立体を切ります。

 面OPEが切り口になるように立体を切ります。

 すると、四角錐O-APED(APEDが底面で、高さが決まる頂点がOの四角錐)

 を切り取ることができます。


(4)

 残った立体で、

 面OFEが切り口になるように立体を切ります。

 すると、四角錐O-CFEB(面CFEBが底面で、高さが決まる頂点がOの四角錐)

 を切り取ることができます。




次に、それぞれの立体の体積の求め方を考えます。




(1)三角錐P-DEF

底面積(△DEF)×PD×1/3

=6×6×1/2 × 3 × 1/3

=18


(2)~(4)は、説明に次の図も使います。

△ABCを上から見た図です。

(2)四角錐O-ACFP 

 この立体は、四角形ACFPが底面で、それに垂直な状態で△OACが立っています。

 なので、上の図のORが高さになります。

 上の図で、①②③④の三角形は全て合同な直角二等辺三角形になるので

 MA=3でSはMAの中点になるから、MS=SA=OR=3/2

 つまり、四角錐O-ACFPの高さは 3/2 です。

 体積

=底面積(四角形ACFD←台形として求めます)× 3/2 × 1/3

=(6+3)×6×1/2 × 3/2 × 1/3

= 27/2


(3)四角錐O-APED 

 この立体は、四角形APEBが底面で、それに垂直な状態で△OABが立っています。

 なので、上の図のOSが高さになります。

 OSも 3/2 となるので

体積

=底面積(四角形APEB←台形として求めます)× 3/2 × 1/3

=(6+3)×6×1/2 × 3/2 × 1/3

= 27/2


(4)四角錐O-CFEB ( あとちょっとです!w)

 この立体は、四角形CFEBが底面で、それに垂直な状態で△OCBが立っています。

 なので、上の図のOQが高さになります。(OQの解説が長くなってしまったので、わかった時点で先に進んでOKです!)

 OQはAQの 1/2 になります。まずはAQを求めます。

 直角二等辺三角形の辺の比は1:1:√2なので、

 AC:AQ=√2:1 ここで、ACが6だから代入して

  6:AQ=√2:1

  √2AQ=6

   AQ=6/√2  有理化して(分母と分子に√2をかけて)

   AQ=3√2


 次に、OQがAQの 1/2 になることの説明です。

 △ABCでMとNが中点なので、中点連結定理によりBC//MN

 つまりQC//ON

 ここで△AON∽△AOCとなり、(平行線の同位角で∠QOA=∠ONA、∠Aが共通)

 NがACの中点だから相似比は1:2

 よって、AO:AQ=1:2 ここでAQ=3√2だから代入して

     AO:3√2=1:2

2AO=3√2

AO=3√2/2

 OQ=AQ-AO

=3√2 - 3√2/2

=3√2/2

 これが、高さです。


 底面積のためにBCを求めます。

 直角二等辺三角形の辺の比は1:1:√2なので、

 AC:BC=1:√2 ここで、ACが6だから代入して

 6:BC=1:√2

   BC=6√2

 よって底面積(四角形CFEB)=6×6√2=36√2

 したがって、

体積

=36√2 × 3√2/2 × 1/3

=36


というわけで!

 三角柱-{(1)-(2)-(3)-(4)}

=6×6×1/2 × 6 -(18+27/2+27/2+ 36)

=108-81

=27


となります。

あなたがベストアンサーに選んだ
工藤 謙
さんは集団塾講師をしています

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