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解説の5行目には単振動の力学的エネルギー...

■考えている内容や答え


解説の5行目には単振動の力学的エネルギー保存則を用いているのですがここを万有引力を用いた力学的エネルギー保存則(りっ式すると mv0^2/2=mvR^2/2−GMm/R)で代用することはできないのですか?

■特に不安な点や、確認したいこと


確認したいこと なのですが、ある問題で力学的エネルギー保存則をりっ式するとき、片方の辺(運動前、後どちらか)に重力による位置エネルギーと弾性力による位置エネルギーを同時組み込むことはあるのですか?(ex:mv^2/2+mgh+kx^2/2=mv0^2+mgh1+kx1^2/2)

tutiany9 さんの質問 勉強レベル4
1週間前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
個別指導塾講師

こんばんは!


エネルギー保存の式を用いること自体は可能です。

しかし、その立式は誤っています。


なぜなら、原点から離れていくにつれ、万有引力の大きさが変化するためです。

連続的に万有引力が変化するため、実際には次のように積分を用いて立式することになります:

出てきた結果自体は、解説と同じものになりますね。

  • 万有引力大きさは変化する とありますが僕の立式したように“点”A とみて立式することも出来ないのですか?

    万有引力による位置エネルギーを利用して力学的エネルギー保存則を立てて解くほかの問題もあるのでできないものかな...と思ったので。

    1週間前
  • >“点”A とみて

    とはどういうことでしょうか?

    1週間前

    林 俊介

    個別指導塾講師
  • 小物体が点Aにいる瞬間で立式する ということです

    1週間前
  • では、それで立式してみるとよいでしょう。

    無限遠点と比較しているわけではないので、おなじみの公式 U = -GMm/R は使えないことに注意しましょう。

    1週間前

    林 俊介

    個別指導塾講師
  • U=-GMm/Rが使えるときと、使えないときがあるのですか?

    1週間前
  • はい、その通りです。

    万有引力が登場するときにその公式が使える、と一辺倒な暗記をしていると失敗します。


    そもそもその公式は無限遠点のエネルギーを 0 しており、かつ惑星の内部に侵入しない範囲での位置エネルギーですよね。

    今回は惑星の内部にも物体がありますし、中心から地表に出るために必要な仕事を計算しなければいけないので、その公式を使う理由がありません。


    現に、解説に登場している万有引力によるポテンシャルには、係数 1/2 がついています。

    1週間前

    林 俊介

    個別指導塾講師
  • 「現に解説に登場している万有引力によるポテンシャルには係数1/2がついています。」とありますが万有引力による位置エネルギーに1/2を掛ける ということですか?

    万有引力による位置エネルギーを考えるのは地球の内部にいない時 と考えても差し支えはないですか?

    1週間前
  • 最後に 1/2 をかければいいというものではありません。実際に惑星中心から外部への仕事を計算した結果、係数 1/2 があったという程度の認識にとどめましょう。


    万有引力によるポテンシャルは、別に惑星内部に物体があっても計算可能です。

    ただし、あなたが使おうとしていた(教科書に掲載されている)万有引力による位置エネルギーの公式は、無限遠点から惑星(質量体)外部のある点まで物体を持ってきた際のエネルギーに過ぎず、今回の問題でその公式の形を用いるのは理にかなっていません。

    1週間前

    林 俊介

    個別指導塾講師
  • >>万有引力による位置エネルギーの公式は、無限遠点から惑星(質量体)外部のある点まで物体を持ってきた際のエネルギーに過ぎず

    つまり今回は物体内部での運動だから万有引力による位置エネルギーを使って解かない ということですか?

    1週間前
  • 万有引力があるわけですから、万有引力による位置エネルギーは使えるんですよ。

    でも、教科書に載っているおなじみの式は使えないんです。


    「万有引力による位置エネルギー」=「教科書に載っている式」と理解しているようですが、それは誤りです。

    1週間前

    林 俊介

    個別指導塾講師
  • というと、

    位置エネルギーの基準を惑星の半径に当たる部分にする などのように自分で置いて解くということですか?

    1週間前
  • そういうことですね。

    1週間前

    林 俊介

    個別指導塾講師
  • 万有引力が登場するときにその公式が使える、と一辺倒な暗記をしていると失敗します。」と前の書き込みにありますが失敗する とは地球の内側のときを含む力学的エネルギー保存則を立てると失敗するとうことですか?

    地球の内部を含む運動の場合、万有引力を用いないばねの力学的エネルギー保存則を立てる という考え方でも問題ないですか?

    1週間前
  • ・そういうことです。

    ・それでも構いません。

    1週間前

    林 俊介

    個別指導塾講師
  • よく理解できました ありがとうございます!

    1週間前
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林 俊介
さんは個別指導塾講師をしています

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