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OAとOPの間の成す角をθにして内積の式を立...

■考えている内容や答え


OAとOPの間の成す角をθにして内積の式を立てました。

■特に不安な点や、確認したいこと


解答で、POとPAの成す角をθにしているんですが、OAとOPの間をθにするのでは出来ませんか?
私の解答ではθの範囲とか足りないと思うのでもしそれでもできるのならどのように解答したらいいのかも教えてほしいです。
もう1つ、POとPAの成す角をθにする方針で解答を立てていくのはなんでかも教えてほしいです。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
ヒロ先生
先生
先生 の回答 1年前

結論から言うと,OAとOPのなす角をθ\theta としても解くことができます。

ただ,θ\theta を設定することで面倒になることが良くあります。

したがって,次のように「内積の図形的意味」をうまく利用すると良いでしょう。



また,POとPAのなす角に着目する理由については,POとPAのなす角が鋭角であることが,点Aが領域DPD_{\mathrm{P}} 内に含まれるための必要十分条件である,ということが最初に思い浮かぶ(思い付く・考える)からでしょう。


載っている解答は詳しく説明しようとして,無駄に長くなっています。次のようにすると簡潔です。



このサイトを利用している人の中でも,ゆいおさんはかなりレベルが高いため,僕のサイトで書いている記事がハマるかもしれません。


ベクトルの内積の図形的意味については,次の記事を読んでいただければ理解できるはずです。

https://methodology.site/meaning-of-the-dot-product/


また,ゆいおさんは「センター試験必勝マニュアル」を読んで勉強していて,それに関する質問をしているのをいくつか見ましたが,ちゃんと説明すると,非常に長くなるのと,元々記事にする予定だったので,今後の更新を待っていただければ納得できるはずです。


面積を求める6分の1公式も有名ですが,次の記事のレベルで使いこなせるようにすると良いです。この続編も執筆予定ですので,合わせて読むことで理解が深まります。

https://methodology.site/1-6-formula/


最後に,最近読まれている記事は3点を通る円の方程式を求める方法の記事です。連立方程式なんて解かなくても簡単に円の方程式を求めることができるようになります。

https://methodology.site/how-to-determine-equation-of-a-circle/


  • 開設読んでもちゃんと理解できた感じがしなかったのでほんとに助かりました!
    ありがとうございます。
    この問題お茶大の過去問なんですが、このような問題ってちゃんと数学を理解してないと解けないじゃないですか?
    どのようにしてこのような問題に対応できる勉強をしていけばいいのか教えてもらえるとうれしいです。

    1年前
  • すいません。解説の間違いです🙏

    1年前
  • すべての科目について言えることですが,結局は「言い換え」なんです。


    数学であれば,文章で書かれた事柄と数式の行き来が自由にできるかどうかを問われます。


    ほとんどの人は文章で書かれた事柄から数式への変換ばかりを勉強していますが,この勉強法が僕の中では間違いです。

    これはほとんどの人は触れてもいないし,話してもいないのですが,実際には,1つの数式から,この数式はどのような事柄を表しているのかを日々考える癖をもつようにするべきです。


    英語を勉強するときに,和訳ばかりをするわけではないでしょう。英訳も勉強するはずです。


    数学での例を挙げておきます。


    「f(1)=0」という数式を見たとき,単に関数f(x)のxに1を代入したときの値が0なんだなと思うだけでは中1レベルの数学力しかありません。

    ・y=f(x)という関数を考えると,そのグラフは点(1,0)を通る。

    ・その点(1,0)ではx軸に接するのか,それともそのまま横切るのかは別の条件が必要だ。

    ・f(x)をx-1で割ると割り切れる。

    というような事柄がパッと出てくるかどうかが重要です。1つの式が1つの表現にならないのは,1つの英単語が1つの意味にならないのと同じです。


    今回の問題であれば,「点Aが領域D内にある」という事柄を数式でどのように表現するのかを考えるわけで,考え方は人によって異なるのだから,数式が解答と一致しないことで落ち込む必要はありません。最悪な場合,解答の考え方が下手すぎるということも起こり得ます。個人的には,赤本の解答は見ないようにしています。また,下手な解答がどういうことかを頑張って理解する必要もありません。


    自分の書いた解答が正しいか自分自身で判断できない場合は,自分より出来る友人か信頼できる人に見てもらうしかないでしょう。


    また,難しい問題では,二段階変換が必要になることもあります。

    英訳する場合は,書かれている日本語をそのまま英語にするわけではないですよね?

    何が言いたいのか簡単な日本語に変換してから英訳するはずです。


    数学も同じで,ややこしい事柄では一旦,別の表現で言い換えます。その後,さらに言い換えて数式で表現するということも多々あります。


    ただ,「別の表現」に「グラフで表す」ことが含まれているのが数学の特徴とも言えるでしょう。

    具体的な例としては,解の配置問題が挙げられます。

    解の配置問題では,一旦グラフでその状態を表した後,改めてその状態になるのはこの数式が成り立つときだと二段階変換しています。


    二段階変換の問題を解けるようにしない限り,大幅な成績アップは絶対にできないでしょう。


    色々書きましたが,すべては「2つのことの間の自由な行き来」ができるかどうかが重要です。


    英語であれば,日本語と英語の行き来,物理なら物理現象と数式の行き来,化学なら現象と化学式の行き来,歴史なら年号と場所や出来事の行き来が自由にできるかどうかを問われていると考えることができます。


    今後は,文章から数式だけでなく,数式からどういうことが言えるのかを考えることで,その数式が文章を正しく表現できているかどうかのチェックもでき,他の様々な問題に対応できる力となるでしょう。


    頑張って下さい。

    1年前

    ヒロ

    先生
  • こんなに丁寧に答えくださってありがとうございます。

    今まで、とりあえず解いたことある問題だけ完璧にしようって何回も解いて解法の暗記っぽい勉強をしていたので数式の意味していることが自分でわかるようになるように努めます。

    1年前
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