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こんばんは!
>極大値、極小値を持つ、つまり極値を持つとき、f'(x)=0となるxの値の前後で符号が変わることを利用する
とのことですが、その通りです!
より直接的にいうと、二回微分の係数を考慮すればOKです。
ある点 x = x0 で f'(x0) = 0 かつ f''(x0) > 0 ならば、その点は極小点になります。
逆に x = x0 で f'(x0) = 0 かつ f''(x0) < 0 ならば、その点は極大点になります。
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