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「mとnが互いに素でない」は「mとnが1...

■考えている内容や答え
「mとnが互いに素でない」は「mとnが1より大きい公約数をもつ」だと思ったのですが、画像右の灰色網掛部によると素数限定になっています。

これは背理法による命題の否定「aとbが互いに素であって、」部分が影響しているからですか(あたかも灰色網掛情報のみで成立するように書かれているので、なぜ素数なのか理解できませんでしたが、a,bが互いに素である前提であれば理解できたので)?

■特に不安な点や、確認したいこと
4か月前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました

たとえば 28  と 32 は 28 = 4 × 7 , 32 = 4 × 8  で 4が共通でかけ算されてます。 4=2×2 で、 素数 2 が公約数になってることでもあります。


つまり質問にあった 『1以上の公約数を持つ』ことは『素数を公約数に持つ』ということでもあるんです。

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基本 例題113 互いに素に関する証明問題 (2) 自然数 a, bに対して, aとbが互いに素ならば、 a+bとabは互いに素であるこ とを証明せよ。 重要114 p.476基本事項 2] 指針> a+bとabの最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで、背理法(間接証明法)を利用する。→a+あとabが互いに素でない, a+bとabはある素数pを公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお,次の素数の性質も利用する。 ただし, m,nは整数である。 すなわち mn が素数pの倍数であるとき, mまたは n はpの倍数である。20x 1最大公約数が1を 導く CHART 互いに素であることの証明 2 背理法(間接証明法)の利用 解答 a+bと ab が互いに素でない, すなわちa+bとabはある素 数わを公約数にもつと仮定すると D, ab-pl mとnが互いに素でない =mとnが素数を公約 数にもつ (k, 1は自然数) 2 a+b=pk と表される。 2から,aまたはbはpの倍数である。 aがりの倍数であるとき, a=pm となる自然数 mがある。 このとき,...

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