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そもそも確率変数に三角不等式を用いて良いのか

■考えている内容や答え
問題はXᵢが独立同時分布で、m=E(Xᵢ)のとき、lim_(n→∞)P(|(X₁+...X_n)/n -m|≧ε)=0 を示せという問題です。



■特に不安な点や、確認したいこと
この画像の解答はあっているでしょうか? そもそも確率変数に三角不等式を用いて良いのか、調べても出てこなかったのでお聞きしたいです。
きん さんの質問 勉強レベル7
2か月前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
個別指導塾講師

確率変数に三角不等式を使っていいかは積分の形にして考えます。

E[|X+Y|]=∫|x+y|f(x,y)dxdy

≦∫(|x|+|y|)f(x,y)dxdy

=E[|X|]+E[|Y|]

なので、期待値なら大丈夫です。


解答についてですが、最後の方で

1/nE[|X1-m|]+…+1/nE[|Xn-m|]→0

となってますが、これは間違いです。

例えばXiを[0,1]の一様分布だとするとE[|Xi-m|]=1/4で

1/nE[|X1-m|]+…+1/nE[|Xn-m|]=1/4

なので、極限をとっても1/4です。

  • 解答ありがとうございます!納得しました。この証明は失敗ですね! やはり解答のようにするのが無難ですかね

    2か月前
  • 他の方法もあるとは思いますが、解答の方法が有名で簡潔なので無難だと思います。

    2か月前

    tamu

    個別指導塾講師
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tamu
さんは個別指導塾講師をしています

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