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勉強レベル4

1という数字の感覚について

【質問の答えについて】

aの0乗は1

分母分子が同じ数の分数を約分すると1



この感覚がわかりません。特に後者は当たり前のように丸暗記で1にしてしまうのですが、実際のところなぜ1となるか考えてみると、分からなくなってしまいます。具体例を出していただけるとありがたいです。
3回答一覧
とても素敵な疑問を持たれているな、と感じました。

私なりの考えを述べさせてください。

もともと数学という学問は、

『日常の生活感覚』から生まれて、考えを拡張していくことで、『抽象度の高い概念』になっていく

というものだと思います。



例えば、2×3=6

という式があります。

これは『2が3個あると6になる』などと説明がされますが、



これはかなり『日常の生活感覚』に近い説明ですよね。

しかし、同じ説明では

-2×(-3)とか

1/2×3/4とか

の説明は苦しくなります。



そこで『日常の生活感覚』に近い説明を捨て、うまく考えを拡張していくことをします。



それで、うまく考えを拡張する際には、

『自然な流れ』であることや『数学的に矛盾がでない』ことが、重要になります。



例えば今回の累乗ですが、『日常の生活感覚』では、3の4乗は、3を4個かけるから81だよね、というような説明ですよね。



しかし、これでは0乗の説明が苦しくなります。



そこで、『日常の生活感覚』に近い説明を捨て、うまく考えを拡張していくことをします。

自然な流れで、0乗を拡張していくとどうなるか。









という感じです。

さらに、0乗を1としても、数学的に何も矛盾が、今のところ見つかっていない、ということなのです。

(はっきり言えば、矛盾がなければどんなふうに決めても構わないのが数学でもあると思います。

極端な話、仮に、0乗したら100になる、とか定義しても矛盾がなければOKなのです)

つまり0乗が1になるっていうのは、そもそもが『日常の生活感覚』からは離れている考えなので、感覚とズレがあるのは当然と言えば、当然なのかもしれないですね。

こういう話題が好きなので、長文になってしまったかもしれません。

失礼しました。

最後に分数に関しては、図のような、数直線で考えてはいかがでしょうか。

1/3ずつ進んでいくと3/3のところで1になる。

という感じ。

white 1年前
ベストアンサー
  • とても分かりやすい回答、ありがとうございました。あくまで人間が定義したもので、感覚とずれが生じるのは当然ということが、深く理解できました。本当に感謝しています。
    1年前

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0乗が1になるのは、

whiteさんの考えがわかりやすいですね^^

もし言葉に置き換えるなら、

3⁰は3が3等分されて1になる。

3¹は3が1等分されて3になる。

3²は3が1/3等分されて3²になる。

3→1→1/3というように

分割する数が小さくなるので

3の累乗は大きくなるという

「量感」も大切ですね。

 

割り算の考え方について言うと、

「割る筆算」という言葉通り

「あるモノを何等分できるか」

という考え方になります。

あるいは、

「あるモノを何組わけられるか」

という言い方にもなりますね。

2÷2=2/2=1

2つのリンゴから2個ずつ

わけるとすると1組ぶんになります。

日常的な面から考えると、

都道府県に食料や資源分配するのに

各地域に最低2個ずつ分配するならば

資源÷2=☆等分≧47にわけられる

と考えられます。

私はwhiteさんと同じ考えですが、

「日常」というよりか「有用性」

という言葉で数学を意識してますね

madreader 1年前

先の回答者は厳密でないので、僕からは厳密な説明を補足しておく

a≠0とn∈ℕに対し a^(-n)=1/a^n だから
a^0=a^(n-n)
=a^n*a^(-n)
=a^n*1/a^n
=1

有理数の集合ℚの定義に遡れば, a,b,c,d∈ℤに対し
a/b=c/d ⇔ ad=bcと定義さるるが為,
a/b*c/d=ac/bd
a/b=ac/bc
が成り立ち、1/1がℚの単位元であることからa/1をaと同一視出来、此れから従う

AnotherThing 1年前
  • それでは0^0=1はどうしてですか?

    ゼロで割ることはできません。
    6か月前

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