ログイン

お使いのブラウザ(Internet Explorer)では閲覧、ログイン、質問の作成や回答などに不具合が生じることがございます。
誠に恐れ入りますが、下記の推奨ブラウザをご利用くださいませ。

推奨ブラウザ:Google Chrome(グーグル・クローム)

勉強レベル6

高校数学 範囲

【質問の答えについて】

この質問の答えはアップロードされた画像に掲載されています。

高校数学 範囲です。

aが0以上のすべての実数を動く時、なのにただaが実数解を持つ範囲を求めればいいのか、という感じで分かりません。

(あまりうまく言えないのですが、問題文の意味がいまいちピンときません)質問分かりにくくてすみません。

よろしくお願いします。



  • 同じような悩みを持っている人がいますね。
    https://noschool.asia/question/%E5%A4%A7%E6%95%B0
    2か月前

    Internet Explorerでは質問、回答、コメントの入力に不具合が発生する可能性がございます。
    もし入力に不具合がございましたら、申し訳ありませんが、別のブラウザをご利用くださいませ。

    推奨ブラウザ:Google Chrome

コメントを入力
3回答一覧
こんにちは。軌跡の問題ですね。私も全くおなじ所で同じ疑問を抱いたので、気持ちがすごく分かります。色々説明の仕方がありますが、私が1番しっくりきた考え方を紹介しようと思います。



この問題、aの値が決まれば、円の形も一意に決まるのはわかりますか?例えばa=1の時は、(1,1)を中心にした半径√2の円になります。



ただaの値がわからないのが問題です。1だったり10だったり100だったり。aを決めてくれればわかるのに、変数だから難しくなります。



この問題ではaは正の実数全体を動きます。なので正攻法(無理やり?)としては、a=1の時2の時3の時、1/2の時1/3の時…のようにたくさんの円を書いてグラフを塗りつぶせば、いずれ答えは出るはずです。現実には無理ですが、まぁ仮に出来たことにしましょう。ある範囲が塗られましたと。



ここで、発想を逆転させます。aを正の実数全域に動かしたのに塗られなかった範囲があるのってなんでだろう…と。これってつまり、aが正のどんな値でもそこを通ることはできなかったって意味ですよね。どうやったら通れるんだろう?

負の数だったら通れたのかな?虚数なら通れるのかな?



ここで改めて、aが実数解を持つ範囲ってなんだろうって考えます。それは、この範囲ならば正の実数aが少なくとも1個は存在しますよって意味です(これをa'とします。)。さっきaを正の全実数で動かして、その都度通る範囲を塗りましたよね?てことは、この少なくとも1個存在するa'について調べた時に(円を書いた時)、必ず塗られているってことになります。





逆に正の実数解が存在しない範囲ってのは、aが負の実数だったり虚数だったりしないと通れない範囲ってことです。つまり、今回の図形で塗れなかったところです。





つまり、円の軌跡と実数解を持つかどうかが一致するわけです。



私はこう考えて理解しましたが、言葉足らずの部分も多々あるので、もし理解の助けになれば幸いです。でも1番難しいところだと思うので、なかなか理解出来なくても落ち込まないでください。



よろしくお願いします。
東京都/清瀬駅 2か月前
ベストアンサー
  • なんとか理解できそうです。ありがとうございました!
    2か月前

    Internet Explorerでは質問、回答、コメントの入力に不具合が発生する可能性がございます。
    もし入力に不具合がございましたら、申し訳ありませんが、別のブラウザをご利用くださいませ。

    推奨ブラウザ:Google Chrome

コメントを入力
あなたがベストアンサーに選んだ
さんは個人家庭教師をしています

出発点はいいと思います。

( x - a )^2 + ( y - a )^2 = a^2 + 1    を  変形して a^2 - 2 ( x + y ) a + x^2 + y^2 - 1 = 0   とします。

『a が 0以上の実数』 → 『二次方程式  a^2 - 2 ( x + y ) a + x^2 + y^2 - 1 = 0  が すくなくとも 1個の解が0以上 になる x、y の範囲』 と考えます。

少なくとも1つの解 a  が0以上になる  →  ① 1つの解が0以上、 もう1つの解が負  、  ② 2つの解が0以上  と 場合わけをします。

さらに ①、② を通して満たす条件があります。それは、そもそも a  は実数解を持つということです。

判別式より   ( x + y )^2 - 1 × ( x^2 +  y^2  -1 ) ≧0   →  2 x y + 1 ≧ 0      →   y ≧ - 1 / 2x               ③

① 1つが 0以上、でもう1つが負 のとき、

解と係数の関係より  二次方程式 a^2 - 2 ( x + y ) a + x^2 + y^2 - 1 = 0      の 解を p  ,   q    とすると、

p + q = 2 ( x + y ) = ?   (正か負かなんともいえないので使えない)

p q = x^2 + y^2 - 1 ≧  0

ゆえに ③ と あわせて

x^2 + y^2  ≧ 1 (円の外側)

y ≧ - 1 / 2x    (2つの曲線の間)

この不等式のあらわす領域を図示します。境界を含みます。

② 2つの解がともに0以上のとき

解と係数の関係より 二次方程式  a^2 - 2 ( x + y ) a + x^2 + y^2 - 1 = 0  の 2つの 解を  p  ,  q    とすると、

p + q = 2 ( x + y ) ≧0  →   x + y ≧ 0      →    y ≧ - x

p q = x^2 + y^2 - 1 ≧ 0            →    x^2 + y^2  ≧  1

この2つの 不等式のあらわす領域を 図示します。 境界を含みます。

以上です。 違ってたら すみません。
keisangakkou 2か月前
  • 詳しい解説をありがとうございました!
    2か月前

    Internet Explorerでは質問、回答、コメントの入力に不具合が発生する可能性がございます。
    もし入力に不具合がございましたら、申し訳ありませんが、別のブラウザをご利用くださいませ。

    推奨ブラウザ:Google Chrome

コメントを入力
まず、この手の問題の概要を説明して、その後にこの問題の解説をしていきます。



この手の問題のポイントは次の2つです。

①軌跡の問題の一種だととらえること 

②媒介変数をうまく処理すること 



まず①について。

軌跡の問題では「何かしらの条件を満たす"点"の動いた跡」を求めました。(軌跡の基本は理解している前提で説明します)

今回の問題は"点"ではなく、"円"の動いた跡を求めていきます。要は、円の軌跡を求めるようなイメージです。

点が円になろうとも、解き方自体は軌跡の問題と大きく変わりません。媒介変数を処理していけば大丈夫です。しかし、点の軌跡では媒介変数を消去すれば良かったのですが、媒介変数をいつでも消去できるとは限りません。それが次のポイント②です。



②について。

軌跡の問題では、媒介変数を消去することで、求めたい点の軌跡を求めることができます。

しかし、媒介変数はいつでも消去できるとは限りません。

そこで、媒介変数とはそもそもどういうものなのか?どう処理すればいいのかを「ただ消去すれば良いもの」ではなく、正しく理解することが必要です。



媒介変数とは、『値を代入すると、その値に対応して図形(点や今回の問題のような円など)を1つ決められるような変数』のことを言います。(決められるとは、方程式が1つ決まるということで、方程式が1つ決まると、図形が存在しているといえます。)



『』内を言い換えると、『図形には対応する媒介変数の値が必ず存在する』となります。この言い換えが問題を解く鍵になります。



つまり、求めたい図形そのものを考えるのではなく、媒介変数の方を考えてあげる、特に、媒介変数が存在している状況を考えてあげることで、求めたい図形の軌跡が自然と求まる構図になっています。



ここまでが問題の概要の解説です。



では実際に今回の問題に当てはめてみましょう。



今回の問題で言えば、aが媒介変数となります。

『aの値が決まると、それに対応して円が1つ決まる。』ことが重要です。

これを言い換えると、『円には対応するaの値が必ず存在する』となります。



そこでaが存在する条件を考えていくわけですが、aを二次方程式の実数解と見なして、実数解の存在する条件と紐付けることで、aの値が存在することを保証していきます。(ここはある意味テクニックのようなもので、二次方程式の実数解と見なす以外の方法でaの存在を保証することができれば別の方法でも構いません)



以上のことから、この問題ではaが0以上の実数なので、aについての二次方程式がa≧0の範囲で少なくとも1つの実数解をもつ条件を求めれば、求めたい円の動く範囲が求まります。



この手の問題はいろいろ解き方があったり、理解がむずかしいです。

「逆像法」「正像法」でググると解説がいろいろ出てくるので調べてみるといいかもしれません。

中谷 柊哉 オンライン指導/ 2か月前
  • aが決まるとそれに対応する円が決まるんですね。ありがとうございました。
    2か月前

    Internet Explorerでは質問、回答、コメントの入力に不具合が発生する可能性がございます。
    もし入力に不具合がございましたら、申し訳ありませんが、別のブラウザをご利用くださいませ。

    推奨ブラウザ:Google Chrome

コメントを入力
あなたがベストアンサーに選んだ
中谷 柊哉
さんは個人家庭教師をしています

質問する

回答する場合は ログイン が必要です。
  • この回答を見た人は以下の回答も見ています