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線形代数の問題(1次変換)

質問の答えについて

この質問の答えはわかりません。

長文失礼いたします。下記の問題の解法でわからないことがあります。

原点のまわりの角θの回転による点P(1,2)の像が描く曲線の方程式を求めなさい。
ただし,点Pの回転の範囲は 0≦θ<2πとする。

点P(x1,y2)を極座標で表すと
x1=rcosα①

y1=rsinα②
ここで、r=√x1²+y1²、tanα=y1/x1とする。
この点Pからβだけ回転移動させたとき得られる座標をQ(x2、y2)とする。
x2=rcos(α+β)
y2=rsin(α+β)
上の二つの式、それぞれに加法定理をもちいて展開する。
x2=rcosα・cosβーrsinα・sinβ
y2=rsinα・cosβ+rcosα・sinβ
この式に、①、②を代入する。
x2=x1cosβーy1sinβ③
y2=x1sinβ+y1cosβ④
③、④に点Pの座標である(1、2)を代入し、β⇒θと置き換えると
x2=1・cosθー2sinθ
y2=1・sinθ+2cosθ
整理してx2⇒x’、y2⇒y’と置き換えて
x’=cosθー2sinθ⑤
y’=sinθ+2cosθ⑥
が得られる。

(x’)²=cos²θー4cosθ・sinθ+4sin²θ⑦
(y’)²=sin²θ+4sinθ・cosθ+4cos²θ⑧
⑦+⑧を計算する(sin²θ+cos²θ=1でもあるので)
(x’)²+(y’)²=1+4=5⑨
すなわち、原点を中心にした半径√5の円が描ける。
ただし、円の描き始め位置は、点P(1.2)になる



質問

・なぜ点P(x1,y2)を極座標で表す必要があるのでしょうか。

・x1=rcosα①とありますが、どのようにrcosαを導き出したのでしょうか。

・y1=rsinα②とありますが、どのようにrsinαを導き出したのでしょうか。あと、左辺がy2ではない理由がわかりません。

・ここで、r=√x1²+y1²、tanα=y1/x1とする、とありますが、なぜr=√x1²+y1²、tanα=y1/x1とするのでしょうか。

・点Pからβだけ回転移動させたとき得られる座標をQ(x2、y2)とする、とありますが、なぜQ(x2、y2)なのでしょうか。(x1,y1)ではないのでしょうか。

・上の二つの式、それぞれに加法定理をもちいて展開する、とありますが、加法定理を用いる必要があるとどこで判断したのでしょうか。

・β⇒θと置き換えると、とありますが、なぜβ⇒θに置き換えたのでしょうか。

・整理してx2⇒x’、y2⇒y’と置き換えて、とありますが、なぜ置き換える必要があるのでしょうか。

よろしくお願いします。
smeil55 さんの質問 勉強レベル2
2か月前

回答(1件)

・なぜ点P(x1,y2)を極座標で表す必要があるのでしょうか。

→見通しが良いからです。

・x1=rcosα①とありますが、どのようにrcosαを導き出したのでしょうか。

・y1=rsinα②とありますが、どのようにrsinαを導き出したのでしょうか。あと、左辺がy2ではない理由がわかりません。

→おそらくご自身で記載している解答の"点P(x1,y2)を極座標で表すと"が本当は点P(x1,y1)なのだと思います。

αはPOとx軸の間の角度です。どのようにrcos(sin)αを導いたとありますが、ほとんど定義そのものです。

半径rの円上の点と原点を結ぶ線分とx軸の間の角度をθとすると点の座標(x,y)は(rcosθ,rsinθ)となります。



・ここで、r=√x1²+y1²、tanα=y1/x1とする、とありますが、なぜr=√x1²+y1²、tanα=y1/x1とするのでしょうか。

そうすると

x1=rcosα①

y1=rsinα②

と表現できるからです。



・点Pからβだけ回転移動させたとき得られる座標をQ(x2、y2)とする、とありますが、なぜQ(x2、y2)なのでしょうか。(x1,y1)ではないのでしょうか。

回転させた先の座標は点Pの座標(x1,y1)とは異なる位置ですよね?なので別の変数(x2,y2)と置いているのだと思います。



・上の二つの式、それぞれに加法定理をもちいて展開する、とありますが、加法定理を用いる必要があるとどこで判断したのでしょうか。

rsin(α+β)を加法定理で展開すればrsinαが出てくるのでこれをx1で置き換えることができると判断したからだと思います。



・β⇒θと置き換えると、とありますが、なぜβ⇒θに置き換えたのでしょうか。

特に置き換える必要はありません。そもそも最初からβと置かずにθで計算すれば良いと思います。



・整理してx2⇒x’、y2⇒y’と置き換えて、とありますが、なぜ置き換える必要があるのでしょうか。

これも特に置き換える必要はありません。見やすくしただけです。
ベストアンサー
個人家庭教師
Shin-Takemura 個人家庭教師 東京都/大山駅 2か月前
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Shin-Takemura
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