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線形代数についての質問

線形代数についてです。
a1,a2,a3をR^3のベクトルで、
(a1,a1)=(a2,a2)=(a3,a3)=1
(a1,a2)=(a2,a3)=(a3,a1)=1/2

(,)は内積を表します。

①a1,a2,a3が線形独立である事を示せ

②f : R^3→R^3をf(a1)=0,f(a2)=a3,f(a3)=a2を満たす線形写像とする。この時、fの像の基底を求めよ

③基底(a1,a2,a3)に関するf : R^3→R^3の表現行列を求めよ

④fの固有値をすべて求めよ

⑤fの各固有値に対する固有ベクトルを, a1,a2,a3の一次結合で表せ

上の5個の問題で全然解けなくて困っています。よろしくお願いします。

回答1件


c₁a₁ + c₂a₂ + c₃a₃ = 0 … (1) とせよ

(1) の両辺に a₁ の内積を計算すれば

c₁ + c₂/2 + c₃/2 = 0 … (A),

同様に a₂, a₃ の内積を計算せよ

c₁/2 + c₂ + c₃/2 = 0 … (B),

c₁/2 + c₂/2 + c₃ = 0 … (C)

が得られるので (A), (B), (C) の連立方程式を解けば

c₁ = c₂ = c₃ = 0 となり線形独立


{a₁, a₂, a₃} が R³ の基底なので

任意の v ∊ R³ は v = c₁a₁ + c₂a₂ + c₃a₃ と書ける

f が線形写像なので

f(v) = c₁f(a₁) + c₂f(a₂) + c₃f(a₃) = c₂a₃ + c₃a₂

よって Im(f) の基底は {a₂, a₃}


[f(a₁) f(a₂) f(a₃)] = [0 a₃ a₂]

.................[0 0 0]
= [a₁ a₂ a₃][0 0 1] より表現行列は
.................[0 1 0]

[0 0 0]
[0 0 1]
[0 1 0]


|λ .0 .0|
|0 .λ -1| = λ(λ + 1)(λ - 1) = 0 より
|0 -1 .λ|

固有値 λ は λ = 0, ±1


◆ λ = 0 のとき

[0 0 0][x]......[x]
[0 0 1][y] = 0[y] を解けば
[0 1 0][z]......[z]

x = k, y = z = 0 より

固有ベクトルは v = ka₁

◆ λ = 1 のとき

[0 0 0][x]......[x]
[0 0 1][y] = 1[y] を解けば
[0 1 0][z]......[z]

x = 0, y = z = k より

固有ベクトルは v = k(a₂ + a₃)

◆ λ = -1 のとき

[0 0 0][x].......[x]
[0 0 1][y] = -1[y] を解けば
[0 1 0][z].......[z]

x = 0, y = k, z = -k より

固有ベクトルは v = k(a₂ - a₃)
AnotherThing 1年前
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