統計学・ルベーグ測度

【質問の答えについて】

この質問の答えはわかりません。

統計学・ルベーグ測度です。

写真の問題の解き方ですが、例えば(1)の場合は

||X||_∞=inf{x|P(|ω|>x)=0}

となりますが、P(|ω|>x)=0の式の意味が分からず先に進みません。

教えてくれませんでしょうか?

 

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ベストアンサー

まず問題文がおかしいのでそれに対してコメントをしておきます.

 

区間(0,1]上のルベーグ測度は確かに確率測度ですが,

これは(0,1]上のルベーグ可測集合に対して定義されるので,

(0,1]上の確率変数とは無関係に定まります. よって

確率変数Xに対する確率測度として考える

という文章は, はっきり言って意味不明です. この文章は不必要です.

また, ||X||_∞=inf{x | P(|X|>x)=0}

とありますが, xの範囲が指定されていません.

このままでは, ||X||_∞の定義が明らかではないです. 定義をちゃんと書いてください.

 

正しい問題文は,

「Pを区間(0,1]上のルベーグ測度とする.

(0,1]上の実数値確率変数Xが次の(1), (2)の場合に||X||_∞を計算せよ. ただし,

||X||_∞= ||X||_∞=inf{x∈[0,∞) | P(|X|>x)=0}

である. また, infφ=∞と定める.」

となるべきです. φは空集合です.

ここまでやってようやく人に伝わります.

 

「写真の問題の解き方ですが、例えば(1)の場合は

||X||_∞=inf{x|P(|ω|>x)=0}

となりますが、P(|ω|>x)=0の式の意味が分からず先に進みません。」

 

まず, 基本的なことを言っておくと, P(|X|>x)の中にある

|X|>x

というのは, ルベーグ可測集合

{ω∈(0,1] | |X(ω)|>x}・・・(★)

の略記です. 慣れないうちは, (★)のように丁寧に,

確率変数Xの引数ωとωの定義域である(0,1]を書いた方がいいです.

 

以下, (1)だけ解説します. (2)は以下の文章を読んで一度自分で解いてください.

 

(1)

X(ω)=ωなので,

{ω∈(0,1] | |X(ω)|>x}={ω∈(0,1] | ω>x}

となります. x∈[0,∞)です.

 

例えば, x=1/2の時は,

{ω∈(0,1] | |X(ω)|>1/2}={ω∈(0,1] | ω>1/2}=(1/2,1].

よって,

P(|X|>1/2)=P({ω∈(0,1] | |X(ω)|>1/2})

=P({ω∈(0,1] | ω>1/2})=P((1/2,1])=1/2 (Pはルベーグ測度).

同様の計算で, x=1/3の時は, P(|X|>1/3)=2/3 と分かります.

 

x=100の時は,

{ω∈(0,1] | |X(ω)|>100}={ω∈(0,1] | ω>100}=φ

になるので. P(|X|>100)=0になります.

 

さて, ||X||_∞の定義は,

||X||_∞=inf{x∈[0,∞) | P(|X|>x)=0}

でした. これは平たくいうと

P(|X|>α)=0を満たすαで「一番小さいもの」はなんですか

ということを聞いています.

上の計算で, P(|X|>100)=0になることが分かりましたが,

100は「一番小さいもの」でしょうか?

 

{ω∈(0,1] | |X(ω)|>1}={ω∈(0,1] | ω>1}=φ ですから, P(|X|>1)=0 でもあります.

しかし,

{ω∈(0,1] | |X(ω)|>0.999999}={ω∈(0,1] | ω>0.999999}

=(0.999999,1]

なので, P(|X|>0.999999)=0.0000001>0.

 

以上から,

P(|X|>α)=0を満たすαで「一番小さいもの」はα=1であることが予想できます.

 

(以下は答案)

1≦αの時は, {|X|>α}={ω∈(0,1] | ω>α}=φ である.

よって, 1≦αの時は, P(|X|>α)=0 である.

0≦α<1の時は, {|X|>α}={ω∈(0,1] | ω>α}=(α,1] である.

よって, 0≦α<1の時は, P(|X|>α)=1-α>0 である.

以上から, ||X||_∞=1 となる.

 

補足

||X||_∞の定義は一見難しいですが, これはsupノルムの一般化に過ぎません.

実際, 可測関数Xが(0,1]上の有界連続関数ならば, ||X||_∞はXの上限で与えられることが分かります. 

少し絵を見てみましょう. Xは次のギザギザな連続関数だとします(連続だから可測でもある).

 

RE: 統計学・ルベーグ測度

 

Xの最大値は4だとしましょう. αが3と4の間にある場合, 

ルベーグ可測集合

{|X|>α}={ω∈(0,1]|X(ω)>α}

は, X(ω)がαより大きくなるω全体になります. つまり上の青線部分が{|X|>α}ということになります.

そして, P(|X|>α)というのは, この青線の1次元ルベーグ測度. すなわち,

P(|X|>α)=青線の長さ

です.

 

もう少しαを大きくしてみましょう. すると…

 

RE: 統計学・ルベーグ測度

 

ああ! 青線が短くなってしまった!

短くなるということはルベーグ測度は小さくなったということです. 

 

もっと大きくしてα=4にしてみましょう. すると…

 

RE: 統計学・ルベーグ測度

 

青線が1点に潰れてしまいました… 1点集合のルベーグ測度はゼロです. 

さらに, αを4よりも大きくすると, 青点は空集合になってしまいます. 

空集合のルベーグ測度もゼロです. 

 

以上より, 次のことが分かります.

αが4以上の実数ならば,  P(|X|>α)=0.

4より真に小さいならば, 青線は長さを持ってしまい, P(|X|>α)>0 です.

ということで, ||X||_∞=4 であり, この数字はXの最大値と一致します.

 

先ほども書いたことですが, 実は, Xが有界連続関数ならば,

||X||_∞はXの(0,1]上の上限になることが証明出来ます.

上のギザギザ関数の場合からも, この事実は容易に想像できるでしょう.

 

よって X(ω)=cos(ω) の時は, ||X||_∞=1 になるんですよね. 

絵を書いただけでは証明になりませんが, 絵を見れば上限が何か察しはつきます.

on 2018年11月8日 の回答

ご回答ありがとうございます。問題文に不備があり申し訳ございません。

(2)の場合は

cos1≦αの時には、{|X|>α}={ω∈(0,1]|cosω>α}=φであり、cos1≦αの時にはP(|X|>α)=0となる。

0≦α<cos1の時には、cosx(0≦x≦π)の逆関数をArccosxとすると、{|X|>α}={ω∈(0,1]|cosω>α}=(Arccosα,1]となるので、0≦α<cos1の時はP(|X|>α)=1-Arccosαとなる。

よって、||X||_∞=cos1となる。

という感じで大丈夫でしょうか?

on 2018年11月8日.

残念ながら間違えています。(2)の答えも||X||_∞=1になるはずです.

on 2018年11月8日.

確かにy=cosx(0<x≦1)のグラフを書いて、図的に考えたら1になりました。

図的に考えるとやりやすいですね!

何とか理解できました。ありがとうございます。

on 2018年11月9日.
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