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空間ベクトル

【質問の答えについて】

この質問の答えはわかりません。

2番が分かりません。

よろしくお願いします。

回答1件

まず、一直線上にあることは

「ベクトルaがベクトルbの定数倍である」ことです。

→a = k→b の関係を満たすことが言いたいです。


つまりこの問題の

O,G,G'が一直線上にあることを示すためには

→OG = k→OG' (*)

の関係が満たされることを言えれば良いです。

結論から言うとk = 1/2となります。


この問題ではは三角形の重心の

・重心点は重心線を2:1に内分する性質①)

・重心線は辺を1:1に内分する(性質②)

という性質を利用します。


△ABCについてCからの重心線とABの交点をHとします。

このとき、


→OG = →OH + →HG

→OG' = →OP + →PG'


とあらわすことができます。

ここで、図形の性質とベクトルは向きと大きさのみで

定義されることを考慮すると


→OH = 1/2→OP(性質②からOHは対角線上、つまりOPの中点だとわかる)

→HG = 1/2→PG'(性質①から1:2の1の方と2の方)


が成り立つことが分かります。

HGとPGが同じ向きであることは自明としてよいかと思います(錯覚と平行移動ですぐわかります)


以上から


→OG = →OH + →HG

= 1/2→OP +1/2→PG'

= 1/2(→OP + →PG')

= 1/2(→OG')


となり、(*)の関係式を

k = 1/2 で満たすことが分かり、

O,G,G'が一直線上にあることがわかりました。

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