空間ベクトル

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空間ベクトルです。

どなたか解き方を教えてください。
よろしくお願いします。
(1)の答えは(−2/3,4/3,5/3)
(2)の答えは(−7/3,2/3,1/3) です。

 

勉強レベル5 on 2019年2月11日 の質問 数学(高校)に関する質問.
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keisangakkou
さんは家庭教師をしています

数学教えます。 放送大学卒。 

ベストアンサー

(1)  基本事項 1 点(a , b , c )   をとおり、方向ベクトル(直線と平行なベクトル)( p , q , r )   のときの直線の方程式

( x – a )/ p = ( y – b )/ q = ( z – c )/r

基本事項 2 法線ベクトル・・・直線や平面と垂直なベクトル

基本事項 3 方向ベクトルと法線ベクトルのない席=0

点 ( 2  ,  0  ,  – 1 )      を とおり、 方向ベクトル U = (   –  2  ,  1   2  )    より 直線 L の方程式は

( x – 2 )/ ( – 2 ) =  y/1 = ( z + 1 )/ 2

ここで、 ( x – 2 )/ ( – 2 ) = y/ 1 = ( z + 1 )/ 2 = t    とおくと   →       x = – 2 t + 2  ,   y = t  ,    z – 2 t – 1

ここで 点B  ( – 2 t + 2  ,   t  ,  2 t – 1 )    は 直線 L の上にあります。

一方、原点をO として ベクトルAB=ベクトルOB-ベクトルOA より

ベクトル AB  = ( – 2 t + 2  ,   t  ,  2 t – 1  )   –  (  1  ,  2  , 3  )  = (  – 2 t + 1  ,  t – 2   ,   2 t – 4   )      です。

問題で求める点は ベクトルABと平行で かつ、直線 L と垂直に交わり、L との交点である。

ベクトルABと  ベクトル U とは垂直になってるので、この2つの内積が0になる。

ゆえに  – 2 × ( – 2 t + 1 ) + 1 × ( t – 2 ) + 2 × (  2 t – 4 ) = 0               →    t = 4 /3

ゆえに 求める座標は 点Bの座標の  t  に代入して、 (  – 2 / 3  ,  4 / 3   ,  5 / 3  )

(  2  )   基本事項  点   (   a  ,  b  ,  c   )      ,   点  (  p  ,  q  ,  r  )     の中点の座標 =   (   ( a + p )/ 2  ,    (  b + q )  /2   ,   ( c + r ) /2   )

点A と 直線 L に関して 対称な 点B   →   (1)で求めた 点が ABの中点

点B( x  ,  y  ,  z  )   とおくと、

(  x + 1 )/ 2 =  – 2 / 3       →    x = – 7/ 3

( y  +  2 ) / 2 =   4 / 3               →     y =   2 / 3

(  z + 3 ) / 2 =    5 / 3                 →    z =  1 / 3

以上です。

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