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積分

【質問の答えについて】

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積分です。


(1)式は何を表しているのですか?

また、(2)の積分区間がh/2~-h/2になっているのかわかりません。



NextPen さんの質問 勉強レベル11
2週間前

回答1件

(1)式は何を表しているのですか?


断面二次モーメントを理解するには、断面一次モーメントからはじめると良いです。

断面1次モーメントは下図1のように断面の面積を回転軸に平行に

⊿A1,⊿A2,・・・⊿Ai,・・・

に分割し、その各々に回転軸からの距離

y1,y2,・・・yi・・・

を掛けて、足し合わせたもの

y1⊿A1+y2⊿A2+・・・+yi⊿Ai+・・・ = ∑yi⊿Ai ・・・①

です。

ここで、各面積

⊿A1,⊿A2,・・・⊿Ai,・・・

を限りなく小さくとって

dAと表すと、①式は、

∑yi⊿Ai=∫[A]ydA ・・・②

と表せます。

積分記号∫[A]は微小な値ydAを全断面積Aの範囲で足し合わせなさい

という意味です。

②式を断面一次モーメントといいます。

ところが、ここで問題が生じました。

下図のように、回転軸を物体の中心に取ると

②式の積分のyの値が正、負になってしまうので、

断面一次モーメントの値が0になってしまいます。


そこで、距離yの代わりにyを二乗した値y^2を用いることにしました。

これが、断面二次モーメントです。

断面二次モーメントは、

単に、断面一次モーメントの①式で、

距離を二乗しただけですから、

y1^2⊿A1+y2^2⊿A2+・・・+yi^2⊿Ai+・・・ = ∑yi2^⊿Ai ・・・③

∑yi2^⊿Ai=∫[A]y^2dA ・・・④

と表せます。

これが、(1)式の表す意味です。


(2)の積分区間がh/2~-h/2になっているのかわかりません。


問題の図では、回転軸(y=0)を物体(長方形)の中心として、

下向きにy軸をとっているので、長方形の、

下辺の位置はy=h/2

上辺の位置はy=ーh/2

となりますから、

積分区間はーh/2~h/2

です。



iwakagami 2週間前
ベストアンサー
  • (1)で、単純に足していくと断面一次モーメントの値が0になるから距離yを2乗したy^2を用いることにした。

    とありますが、何故2乗したものを使ったのでしょうか?

    2週間前

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  • 必ず0以上になることが大きな理由です。

    0以上であれば、4乗、6乗・・・でも可能ですが、

    2乗だと、次元がm^4(面積の二乗)となり、

    矩形計算の利便性が良くなります。

    その結果、複雑な断面形状でも、矩形計算によって値が求めやすくなり、

    はりのたわみ量など、曲げ剛性と、断面2次モーメントとの関係性を調べるのに役立ちます。

    ですので、断面2次モーメントはとても重要なパラメータです。

    理屈の上では断面4次モーメントや、断面6次モーメント・・・も可能ですが、

    現実問題として同じ結果(0とならない)を得るためにわざわざ計算が複雑になる手法を用いる理由はありません。


    足すと0になるので2乗の値を用いて計算することは、

    材料工学以外でも良く用いられる手法で、身近な例としては、

    家庭のコンセントの電圧がこれにあたります。

    交流電圧のsin波形をそのまま足すと0になるので2乗の平均値をとって、

    100Vとしています。

    2週間前

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  • 2乗にすることによって他の関係性とかも算出しやすくしているんですね!

    2週間前

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