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材料りきがく

【質問の答えについて】

この質問の答えは質問の本文に記載されています。

同じ材料、同じ長さ、同じ断面積の棒で、できるだけたわみが小さくなるようにするためには断面積をどのような形にすれば良いか

という問いがわかりません。

多分パイプ状の形なのかなぁって思うくらいで、理由等は全然わかりません。

NextPen さんの質問 勉強レベル11
2週間前

回答1件

たわみ量の計算は断面二次モーメントを使って計算できます。

実際にたわみ量を計算する式は教科書等に載っていると思いますのでそちらを参照してください。

重要なのは、たわみ量は断面二次モーメントに反比例することです。

つまり、断面2次モーメントが大きいほどたわみ量は小さくなります。

また、断面2次モーメントは、断面積が大きくなると大きくなります。

ですので、中を中空にしたパイプを考えたことは、とても良い発想だと思います。

パイプだと、どちらの方向からの荷重に対しても同じ大きさの反力が働くので、

荷重がどの方向からかかってもたわみ量は小さくなります。

ただ、たわみ量の場合、上下方向からの荷重を想定します。

ですので、まず、上下方向からの荷重に対して、たわみの量が小さくなるような形を

考えると良いです。

たとえば、断面積が同じ長方形の棒だと、

断面二次モーメントは、

縦に用いるほうが、横に用いるよりおおきくなるので、

縦の長さが長い長方形にすればよいことになります。

このほか、中空の角パイプ(ロ型)、H型、エ型などが考えられます。

実際に断面2次モーメントを計算して比較してみると

良いと思います。

iwakagami 2週間前
ベストアンサー
  • すいません、まだ本格的に学んでいないため教科書はないです…

    たわみ量の式というのはPL^3/○EI

    のことですか?

    2週間前

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  • そのとおりです。

    P:荷重

    L:はりの長さ

    〇:はりの形や荷重のかけ方で決まる値

    E:縦弾性係数

    I:断面二次モーメント

    です。

    2週間前

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  • こういうのが表示されているのですが、さっきの式に大入するにはどうすれば良いのでしょうか?

    2週間前

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  • たわみ量を計算するには、この他に、はりの長さ(L)、荷重(P)の加え方(位置、均等荷重か、集中荷重か)、材質(E)のデータが必要です。

    ただ、質問の問題は「同じ材料、同じ長さ、同じ断面積」という条件なので、

    単純に断面2次モーメントの値だけを比較すればよいです。

    写真の図で、面積Aが等しくなるように、文字記号の値を決めて、断面2次モーメントの値を実際に算出して、比較してみるといいと思います。

    ちなみに、この中では③のエ型が一番たわみ量が小さくなる形状です。

    ですが、同じエ型でも、横長や縦長など形状によって断面2次モーメントの値は変わりますから、パソコンなどを使って計算してみると良いと思います。


    2週間前

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  • 面積Aが等しくなるように

    とは、①の場合だと面積はbhだから断面二次モーメントはAh^2/12みたいな感じでするということですか?

    2週間前

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  • 具体的な値を当てはめて考えると良いと思います。

    断面2次モーメントは、積分計算することもできますし、

    画像の式に当てはめて算出してもOKです。

    一例を示すと次のようになります。

    ②は①を横に2等分して、4cm離して並べた構造です。

    ③は①を横に3等分して、エ型に配置した構造です。

    面積は全て60cm^2です。

    断面2次モーメントは③が一番大きいですね。

    2週間前

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  • 6と7が頑張ってみても厳しかったです…

    3の形のと比べて断面二次モーメントは大きくなるのでしょうか?

    何度もすいません…

    2週間前

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  • たわみ量に対する形状比較ですから、

    極端な形(極端に平たい楕円形や、

    極端に背の高い三角形など)を考察しても、

    無意味ですので、③の寸法(14cmx10cm)を目安に調べてみます。

    まず、⑦です。

    形状的には③に比べ不利です。

    2a=14cm

    とすると、

    πab=60cm^2 

    b=2.728・・・≒2.73cm

    断面2次モーメントIは

    I=(π/4)ab^3=(πab)x(b^2/4)=(60/4)x2.73^2

    =111.7・・・≒112cm^4

    です。


    次に⑥です。

    質問の最初で予想した形状ですね。

    d2=14cmとすると、

    (π/4)(d2^2-d1^2)=60cm^2

    d1=10.93・・・≒10.9cm

    I=(π/64)(d2^4-d1^4)

    =(π/4)(d2^2-d1^2)x(1/16)(d2^2+d1^2)

    =(60/16)(d2^2+d1^2)

    =(15/4)(14^2+10.9^2)

    =1180.5・・・≒1181cm^4

    です。


    他に有力な形状としてロ型があります。

    Iを求めて比較してみてください。


    ☆訂正

    験算したところ②の断面2次モーメントの値にミスがありました。

    ②はI=780cm^4

    に訂正します。

    すみませんでした。

    他は大丈夫だと思いますが、念のため確認してみてください。

    2週間前

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  • 14cmを基準として方程式を立てれば良かったんですね!

    と言うことは、⑥より③の方が断面二次モーメントが大きいからたわみ量が小さくなるんですね!

    ロの形については自分でやって比較したいと思います!

    2週間前

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  • そのとおりです。

    とても熱心に取り組んで、

    頑張り屋さんですね。

    応援しています。


    2週間前

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  • 丁寧に教えていただきありがとうございました!

    2週間前

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