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曲率について。

質問の答えについて

この質問の答えは質問の本文に記載されています。

http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html

に置いて、

θが120°などの場合は曲率は求まらないのでしょうか?

求まらない場合はなぜ求まらないのでしょうか?

もう一つ、曲率を求める式はR=dr/dθですが、drやdθは使わずにグラフの傾きを利用してRの式を表す事は出来ますか?


また、画像のようなθが90°の時は図の左にある直線とx軸のなす角はθ+Aになりますが、なぜAはdθではないのでしょうか?

どのような角度の性質ゆえにAはdθにならないのでしょうか?

carlos1995 さんの質問 勉強レベル7
3か月前

回答(1件)

曲率ははじめに円に対して定義されるものです(円の曲率は一定)。ただの曲線の場合には曲率が常に変化してしまうので、円のようにはいきません。

しかし、添付されたページの一行目に書いているように、円でない曲線でも非常に短い区間だけ切り取って見れば近似して円とみなすことができます。そのことにより、その瞬間だけの曲率は求められます。


θが120°などの場合は曲率は求まらないのでしょうか?

θが120度という大きな幅でも平均的な曲率は計算できます。しかし、瞬間的な曲率とは大きくズレます。

ちょうど、関数の接線を求める時に微分を使わず、変化の割合を使うようなものです。

平均の速さと瞬間の速さの考えと同じです。


>drやdθは使わずにグラフの傾きを利用してRの式を表す事は出来ますか?

できます。というか添付されたページの最後から二番目の式がそれに当たります。

dy/dxというのはまさしくグラフの傾きですよね。二回微分(d^2y/dx^2)も必要ですが。


座標軸を何に設定するかは自由ですので(r,θ)を用いた極座標系でも(x,y)を用いた直交座標系でもなんでも使えます。


>どのような角度の性質ゆえにAはdθにならないのでしょうか?

このAというのはどこから来たのでしょうか。dθになると思いますが...。

  • わかりやすい解答ありがとうございます。

    なるほど、画像のようにグラフと接線が垂直な場合もAはdθと置けるわけですね!

    そして曲率を求める事はできるが精度は良くないというわけですね。

    では画像のように垂直な接線での曲率を求める場合はその接線に近い垂直でない接線を作り近似的に曲率を求めると言った方法で求めるのでしょうか?

    それ以外に方法があれば是非教えてください!


    θが120°の時は精度が良くないことがわかりました。ですが、なぜ精度が良くないのでしょうか?

    θが120°と大きい場合はdθが0に近くならないのでしょうか?

    だとしたらdθが0に近くなるように接線を作れないのでしょうか?


    仮に精度を良くするとしたら120°から90°を引いて角度を小さくする方法が良いでしょうか?


    どうかよろしくお願いします。

    3か月前
  • ご返答ありがとうございます。

    なんとなく誤解が見えて来たような気がします。

    質問の意図を正確に把握できていなかったようです。


    私が言っているθとはdθのことを言っています。

    すなわち、dθ=120度ではいけないという話です。120度は微小な角ではないのであえてdをつけていないのかと誤解してしまいました。


    θはこの場合任意に定められるので関係ないです。例え120度だとしても、質問者様の図の中にある横軸を回転させれば角度は自由に変えられます。つまり、θは何度でもかまいません。



    3か月前
  • ありがとうございます!

    ⅾθではなくθが120°の場合を話していました。勘違いさせてしまいすいません。

    お聞きしたいことが二つあります。一つは、垂直な接線での曲率を求める場合はその接線に近い垂直でない接線を作り近似的に曲率を求めると言った方法で求めるのでしょうか?

    (まあ、垂直だtanθが0になるので近似でないと求まらないと思いますが。)


    二つ目は今回の曲率を求める式は図から導きました。画像の図がその図です。

    この図はθが90°より大きい場合は成り立ちません。(θが90°より大きい場合はtanθの加法定理を導ける図が作れないため)、ですがθが120°などの90°よりも大きい角度θの場合でも式は成り立つとわかりました。ってことは今回の図は120°などの角度を回転させて角度は90°より小さい角度であればどんな角度でも画像のような式は成り立つということでしょうか?


    こちらが今回の曲率を導くために描いた図形です。

    3か月前
  • >一つは、垂直な接線での曲率を求める場合はその接線に近い垂直でない接線を作り近似的に曲率を求めると言った方法で求めるのでしょうか?


    垂直な接線とは横軸(x軸)と接線の交わる角(添付された図の中のθ)が90度ということで良いでしょうか。そうであれば、おっしゃる通りです。

    もう一度言うとdθが小さければθは何度でも大丈夫です。


    >二つ目の質問後半

    今回の図は120°などの角度を回転させて角度は90°より小さい角度であればどんな角度でも画像のような式は成り立つということでしょうか?


    これ自体は正しいです。座標軸は好きなように設定していいので90度未満になるようにうまく決めれば問題は回避できます。しかし、次に述べますようにそもそも数学的に等価なので、回転してうまくいくと言うことは回転しなくてもうまくいくはずです。


    >二つ目の質問前半

    この図はθが90°より大きい場合は成り立ちません。(θが90°より大きい場合はtanθの加法定理を導ける図が作れないため)


    θが鈍角の場合でも加法定理は成り立つことを考えれば、導くことはできるはずです。三角比の教科書を前半の方から見ればわかると思いますが、θが鋭角ならば直角三角形を用いて図形的に解けますが、θが鈍角の場合は三角比の拡張を行なって二次元平面座標を導入する必要があります(鈍角直角三角形は存在しないから)。


    つまり、x軸だけてなくy軸を導入することで解くことができます。θが鈍角であるからにはx軸の値としては負の数を使う必要があるのに、図形のみの議論を行おうとすると正の値しか扱えないため進まなくなってしまいます。三角比は単位円上の座標として解くべきです。


    まとめると、三角比は最初の方こそ直角三角形を用いた場合(cosθ=a/r のように)習いますが、θが90度を越えるときは座標を用いた新たな定義へと拡張されるため(cosθ=(単位円のx座標))、鈍角ではこれを用いた方が良いでしょう。


    しかし、これを行うのは面倒であることも事実なため、初めから角度が小さい方をθとおいた方が議論としては楽になると思います。具体的にはθが120度などの時は添付された図の(π-(θ+Δθ))に当たる部分をθと置くとよいでしょう。今の状態からただ左右反転した状態を作ることができます。


    3か月前
  • どうもありがとうございます!


    θが鋭角の場合は、図的に解くとx軸の値としては負の数を使う必要があるが、図形では負は表せないので図から今回のような式は作れない。なので90°より小さい角度θにすればいいということでしょうか?

    また、今回の図から導いた式に関してなのですが、

    θが鈍角の場合でも加法定理は成り立ちますが、図形は作れませんでした。θが鈍角の場合での加法定理の式を図形で表現できなかったので、図から式を求めるθが鈍角の場合での加法定理の場合は以前に書いたように鈍角θを今回のθが90°の時の図に合わせて鈍角のθを小さくすることで鈍角の場合でも今回の図から導いた式が使えるという解釈でよいでしょうか?


    そうですね。θが鈍角の場合(π-(θ+Δθ))として傾きを反転させて、その反転した傾きを式に代入すればいいだけですからね!

    求め方の方法がいくつもあることがわかりました!!


    ちなみに画像の図は今回の図を反転させたものですが、この図ではtanθ=-dy/dxと負の傾きですが、今回の図から導いた式と同じ曲率は求まるでしょうか?

    また、下の図のtanθ=-dy/dxの場合と同じ曲率が求まるが、この図を反転させたりして今回の図と同じような形にする方が、「今回の図の形」にする方が良いのでしょうか?

    最後に載せましたサイトの途中式で気になったのですが、

    式の分子のtanθを二階微分を表しているという解釈でよいでしょうか?


    3か月前
  • 度々すいません。>>具体的にはθが120度などの時は添付された図の(π-(θ+Δθ))に当たる部分をθと置くとよいでしょう。において図を描いたのですが正しいでしょうか。

    もし間違っていた場合は申し訳ないのですが画像で間違いを教えていただけないでしょうか?



    補足失礼します

    >>ちなみに画像の図は今回の図を反転させたものですが、この図ではtanθ=-dy/dxと負の傾きですが、今回の図から導いた式と同じ曲率は求まるでしょうか?

    に関してもしかしたら傾きによってはtanθがマイナスになり曲率がマイナスになることもあるため(マイナスを消せばその曲率は使えるかもしれませんが。)、必ずプラスの値が出るように今回の図と同じ図になるように反転させるのでしょうか?

    3か月前
  • >θが鋭角の場合は、図的に解くとx軸の値としては負の数を使う必要があるが、図形では負は表せないので図から今回のような式は作れない。なので90°より小さい角度θにすればいいということでしょうか?


    前の返答で述べましたようにy軸を導入すれば、鈍角でも加法定理は図形的に導けます。



    質問者様にとってわかりやすい解き方になっているかわかりませんが、これで導けているかと思います。


    >図を描いたのですが正しいでしょうか。


    添付された図はあっているように見えます。こちらを用いても構いません。dy/dxが負になっても、dθの式を見れば二乗になっているので答えに影響はありません。


    >式の分子のtanθを二階微分を表しているという解釈でよいでしょうか?


    ちがいます。yをxで一階微分したものがtanθです。

    yをxで二階微分したものは、dy/dxをxで一階微分していることに等しいことを考えれば、tanθをxで微分したものとなります。


    微分という言葉を使う時は「何を何で微分した。」と言うと誤解が少なく非常に良いと思います。


    また、このとき微分すると0になってしまうと思ってはいけません。ここで、θはxとyを含む関数ですから、合成関数の微分を考える必要があります。

    3か月前
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