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数II 恒等式、等式、不等式証明

質問の答えについて

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数II 恒等式、等式、不等式証明です。

緑で丸してあるところが分かりません

教えてください



数II 恒等式、等式、不等式証明
さんの質問 勉強レベル4
4か月前
  • タイトル数IIと書いてますが、数Ⅰでした。訂正します

    4か月前

回答(1件)

ベストアンサー
2 5 6

( 2 )  基本事項  因数分解(やや難)

a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c = ( a + b + c ) ( a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a )

証明  a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c = ( a + b + c ) ( a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a )    より a + b + c = 0   を 代入して

a^3 + b ^3 + c^3 - 3 a b c =  0          →                a^3 + b^3 + c^3  =  3 a b c

証明終

( 3 )     x / ( b - c ) = y / ( c - a ) = z / ( a - b ) = k     とおくと、 x = k ( b - c )    ,    y =  k ( c - a )     ,     z =  k ( a - b )   より

x + y = k ( b - a )     ,    y + z =  k ( c - b )     ,     z + x  =  x + z =  k ( a - c )

両辺 たすと、  x + y + z = 0

つぎに ax + by + cz = ( a + b + c ) ( x + y + z ) - ( b + c ) x - ( a + c ) y - ( a + b ) z  = ( a + b + c ) ( x + y + z ) - a ( y + z ) - b ( x + z ) - c ( x + y )

= ( a + b + c ) ( x + y + z ) - a  ( c - b ) k - b ( a - c) k - c ( b - a ) k = (a + b + c ) ( x + y + z ) + ( - a c + a b - a b + b c - b c + a c ) k = ( a + b + c ) × 0 + 0 = 0

証明終



2 5 7

( 1 )   左辺ー右辺= ( x^2 + 1 ) ( y^2 + 1 ) - ( x y + 1 )^2 = x^2 y^2 + x^2 + y^2 + 1 - ( x^2 y^2 + 2 x y + 1 )  x^2 + y^2 - 2 x y = ( x - y )^2 ≧  0

等号はx=y のときに 成立。

( 2 )  a > 0  ,  b  > 0    より 両辺2乗したものを 左辺ー右辺>0 を 示す。

( √a  + 2 √b )^2 - ( √ ( a + 4 b ) )^2 =  a + 4 √ ( a b ) + 4 b - ( a + 4 b ) = 4  √ ( a b ) > 0

ゆえに √ a  + 2 √ b  >  √ ( a + 4 b )

証明終

( 3 )   基本事項 相加平均 ≧ 相乗 平均

a > 0    ,   b > 0    のとき   a + b ≧ 2 √ ( a b )              ( 等号は a = b  のときに 成立 )

( a / b ) + ( b / a ) ≧ 2 √ ( (a / b ) × ( b / a ) ) = 2                 ( 等号は ( a / b ) = ( b / a )   、 つまり   a ^ 2 = b^2    →      a > 0     ,   b > 0    より  a = b   のときに 成立)

証明終

以上です。 違ってたら すみません。
keisangakkou 4か月前

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