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数2 指数

質問の答えについて

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指数関数の問題です。
解答の⑵と⑶のオレンジ色の線をひいたところが理解できません。どなたかよろしくお願いします。



数2 指数 数2 指数 数2 指数

回答(4件)

ベストアンサーに選ばれました
まず、『正の実数Xの1つの値に実数xの1つの値が対応する』とは『正の実数Xに何か1つの値を代入すると実数xが1つだけ決まる』ということです。 X = 3^x  は例えばX=1なら x=1だけだし、X=9ならx=2だけです。一方、(2)は二次方程式 X^2 - αX + 1 = 0 を 解く問題ですが、今、 X = 3^x  です。xがどんな値であれ、X = 3^x   はいつもプラスの値ですので、二次方程式 X^2 - αX + 1 = 0   の解Xはいつも2つともプラスになります。ゆえに『Xの方程式➁’が異なる2つの実数解をもつ』ようになります。

一方  3^x + 3^(-x ) = t      とおくと、前にのべたように 3^x  はプラスで、3^(-x ) = 1/3^x = 1/(プラスの数字) なので 3^(-x ) > 0     です。

ここで 基本事項  相加平均 ≧ 相乗平均  より  3^x + 3^(-x ) ≧ 2 √(3^x ) ×(3^( - x))  = 2  (ア)  で、 等号は 3^x = 3^(- x )    →  3^(2x) = 1       →  x = 0   のとき 成立してそのときに

3^x + 3^(-x ) は 最小値 2 になります。 つまり、 3^x + 3^(- x )  = t ≧ 2     です。

ゆえに 3^x + 3^(-x ) < 2   になる t  はありません。 なので t < 2   のとき 二次方程式の解は0個です。 さらに  t = 2   になる のは (ア) の等号が成り立つときだけなので x = 1  ゆえに 解は1個です。

以上です。違ってたら すみません。

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X > 0に対しては、x=log[3]Xとxが1つ決まります。

X≦0に対しては、3^x=Xとなるxが存在しません。

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f(x) = 9" +9-*-8(3+3)+ 19 について,次の間に答えよ。 (1) t=3"+3-とするとき, f(x)を1を用いて表せ。 (2) αを実数の定数とするとき, xの方程式3"+3-*=αが異なる2つの実数解をもつょうなαの値の範囲を氷めよ。 (3) たを実数の定数とするとき, 方程式f(x)%=kの異なる実数解の個数を調べよ. っから f(x) = t2-2-8t + 19 れのta =ピー8t+17. 個ずつニ (2) 3+3*a. X=3*とすると, ②は、 実数解。 x+ X すなわち、 X2- aX+1-0. ここで,X = 3*>0であり,正の実数Xの1つの 値に実数xの1つの値が対応する. よって,求める条 件は,Xの方程式②が異なる2つの正の実数解をも つことである。2 その条件は, (判別式) > 0かつ 2つの解の和と積が 正であること,すなわち, 数に a?-4>0 かつ a>0かつ 1>0. これより,求めるαの値の範囲は, a>2. ①の右辺をg(t)とおくと, (3) g(t) (t-4)+1. よって, f(x)=kすなわちg(t)=kを...

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