数2 指数

【質問の答えについて】

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指数関数の問題です。
解答の⑵と⑶のオレンジ色の線をひいたところが理解できません。どなたかよろしくお願いします。

 

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keisangakkou
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数学教えます。 放送大学卒。 

ベストアンサー

まず、『正の実数Xの1つの値に実数xの1つの値が対応する』とは『正の実数Xに何か1つの値を代入すると実数xが1つだけ決まる』ということです。 X = 3^x  は例えばX=1なら x=1だけだし、X=9ならx=2だけです。一方、(2)は二次方程式 X^2 – αX + 1 = 0 を 解く問題ですが、今、 X = 3^x  です。xがどんな値であれ、X = 3^x   はいつもプラスの値ですので、二次方程式 X^2 – αX + 1 = 0   の解Xはいつも2つともプラスになります。ゆえに『Xの方程式➁’が異なる2つの実数解をもつ』ようになります。

一方  3^x + 3^(-x ) = t      とおくと、前にのべたように 3^x  はプラスで、3^(-x ) = 1/3^x = 1/(プラスの数字) なので 3^(-x ) > 0     です。

ここで 基本事項  相加平均 ≧ 相乗平均  より  3^x + 3^(-x ) ≧ 2 √(3^x ) ×(3^( – x))  = 2  (ア)  で、 等号は 3^x = 3^(- x )    →  3^(2x) = 1       →  x = 0   のとき 成立してそのときに

3^x + 3^(-x ) は 最小値 2 になります。 つまり、 3^x + 3^(- x )  = t ≧ 2     です。

ゆえに 3^x + 3^(-x ) < 2   になる t  はありません。 なので t < 2   のとき 二次方程式の解は0個です。 さらに  t = 2   になる のは (ア) の等号が成り立つときだけなので x = 1  ゆえに 解は1個です。

以上です。違ってたら すみません。

on 2018年11月5日 の回答
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BGSawada
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tamu
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X > 0に対しては、x=log[3]Xとxが1つ決まります。

X≦0に対しては、3^x=Xとなるxが存在しません。

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BGSawada
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