数学II 三角関数

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数学II 三角関数です。
(2)です。ノートに書いてあるのが解説なのですが、何をしているのかが分かりません。よろしくお願いします。

 

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数学者sumiteacher
さんは家庭教師をしています

専門は数理物理学に登場する偏微分方程式の関数解析的研究 夢は大手予備校講師 高校の確率と微積分を分からせます。 数学の大学入試問題について、データベースがほとんど頭の中に入っています。文系理系を問わず、教育的な愛情をもって指導します。福岡県在住ですが佐賀県で教育活動しています。 ■最...

ベストアンサー

cosθ=X, sinθ=Y,f(θ)=kとおくと、

X^2+Y^2=1

Y/2+X=k

Y=k(2+X) ①

①は傾きがkで(-2,0)を通る直線を表す。

kが取りうる値の範囲は(0,0)と①との距離が1以下なので

|2k|√k^2+1≦1

両辺正であるから、平方し分母を払うと

4k^2≦k^2+1

3k^2≦1

-1/√3≦k≦1/√3

よってf(θ)の最大値は1/√3 ,最小値は-1/√3である。

(2)少し自信ないけど

まず、 siny=1- sinx=(sinx/2-cosx/2)^2

これより右辺は0以上であるから、0≦y≦π

このとき0≦ siny≦1 ⇔ 0≦sinx/2-cosx/2≦1

⇔0≦sin(x/2-π/4)≦1/√2

⇔0≦x/2-π/4≦π/4

⇔π/4≦x/2≦π/2

⇔π/2≦x≦π

⇔-1≦cosx≦0

-1≦cosy≦1

-2≦cosx+cosy≦1

[注意] よく知られているように、

-1≦ sinθ≦1

-1≦cosθ≦1

だからといって-2≦ sinθ+cosθ≦2としてはいけない。

なぜならば sinθとcosθが同時に±1になることはないからである。

この場合はxとy独立2変数であるから、cosxとcosyが同時に-1となりうることがあり得るので、このような解法が許される。(偉そうなこと言っておいて、間違ったらごめんなさい)

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cosθ=X, sinθ=Y,f(θ)=kとおくと、

X^2+Y^2=1

Y/2+X=k

Y=k(2+X) ①

①は傾きがkで(-2,0)を通る直線を表す。

kが取りうる値の範囲は(0,0)と①との距離が1以下なので

|2k|√k^2+1≦1

両辺正であるから、平方し分母を払うと

4k^2≦k^2+1

3k^2≦1

-1/√3≦k≦1/√3

よってf(θ)の最大値は1/√3 ,最小値は-1/√3である。

(2)少し自信ないけど

まず、 siny=1- sinx=(sinx/2-cosx/2)^2

これより右辺は0以上であるから、0≦y≦π

このとき0≦ siny≦1 ⇔ 0≦sinx/2-cosx/2≦1

⇔0≦sin(x/2-π/4)≦1/√2

⇔0≦x/2-π/4≦π/4

⇔π/4≦x/2≦π/2

⇔π/2≦x≦π

⇔-1≦cosx≦0

-1≦cosy≦1

-2≦cosx+cosy≦1

[注意] よく知られているように、

-1≦ sinθ≦1

-1≦cosθ≦1

だからといって-2≦ sinθ+cosθ≦2としてはいけない。

なぜならば sinθとcosθが同時に±1になることはないからである。

この場合はxとy独立2変数であるから、cosxとcosyが同時に-1となりうることがあり得るので、このような解法が許される。(偉そうなこと言っておいて、間違ったらごめんなさい)

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(1)の方法を月刊誌「大学への数学」では逆手流(さかてりゅう)として紹介しています。

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訂正。-1≦ sinx/2-cosx/2≦1

ですね。

-1/√2 ≦ sin(x/2-π/4)≦1/√2

0≦x/2-π/4≦π/4

または、3π/4≦x/2-π/4≦5π/4

7π/4≦x/2-π/4≦9π/4

π/2≦x≦πまたは、2π≦x≦3πまたは、4π≦x≦5π

二番目と3番目を0≦x < 2πの範囲に直すと、0≦x≦πなので、xの取りうる値の範囲は0≦x≦π

-1≦cosx≦1

-1≦cosy≦1

-2≦cosx+cosy≦2

でないかと思います。

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