数学A 集合と命題

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4番の問題の、待遇での証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

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keisangakkou
さんは家庭教師をしています

数学教えます。 放送大学卒。 

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補則1、aであるならばbである。の対偶はbでないならばaでない。元が正しければ対偶も正しく、元が間違いなら、対偶も間違いになる。

補則2、3の倍数とは、3が掛け算されてる数。ゆえに3の倍数でないとは、3が掛け算されてない数、つまり、『3で割ると余りがでる数』のこと。3で割った余りは1と2しかない(余りが4だったら、4=3×1+1なので、もう一度3でわれるから)。

証明・『n^2が3の倍数ならnが3の倍数』の対偶は『nが3の倍数でないならばn^2が3の倍数でない』である。

以下、対偶を示す。(1) n=3k+1(kは自然数で、3で割ると1余る)のときn^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1 ∴n^2も3で割ると1あまり、3の倍数でない。

(2)n=3k+2(3で割ると2余る)のとき n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1   ∴n^2も3の倍数でない。

(1),(2)より、元の対偶が正しいことが証明されたので、元の命題も正しい。(証明終)

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AnotherThing
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某国立大学大学院理学系研究科物理学専攻→数理科学研究科数理科学専攻(理学博士) 質の低いものには基本答えない 考察等も併せて述べること 暫く回答せず 丸投げの質問や礼を言えない質問者が多すぎる 回答者は「ろくに考えず、方法論や過程を抜きに、回答だけ求める質問者に対して懇切丁寧な回答を書くのは質問者の...

 

主張の対偶は「nが整数のとき 3|nでない⇒3|n²でない」である

n|3はk∈ℤを用いて3k+1,3k+2と表される

1) n=3k+1のとき

n² = (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k)+1

k∈ℤ⇒(3k²+2k)∈ℤ

∴3|n²でない

2) n=3k+2のとき

n²= (3k+2)²= 9k²+12k+4 = 3(3k²+4k+1)+1

k∈ℤ⇒(k²+4k+1)∈ℤ

∴3|n²でない

 

∴1)2)より対偶が真であることが示された

∴主張が示された

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