数学A 集合と命題

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4番の問題の、待遇での証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

勉強レベル2 on 2018年5月14日 の質問 数学(高校)に関する質問.
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補則1、aであるならばbである。の対偶はbでないならばaでない。元が正しければ対偶も正しく、元が間違いなら、対偶も間違いになる。

補則2、3の倍数とは、3が掛け算されてる数。ゆえに3の倍数でないとは、3が掛け算されてない数、つまり、『3で割ると余りがでる数』のこと。3で割った余りは1と2しかない(余りが4だったら、4=3×1+1なので、もう一度3でわれるから)。

証明・『n^2が3の倍数ならnが3の倍数』の対偶は『nが3の倍数でないならばn^2が3の倍数でない』である。

以下、対偶を示す。(1) n=3k+1(kは自然数で、3で割ると1余る)のときn^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1 ∴n^2も3で割ると1あまり、3の倍数でない。

(2)n=3k+2(3で割ると2余る)のとき n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1   ∴n^2も3の倍数でない。

(1),(2)より、元の対偶が正しいことが証明されたので、元の命題も正しい。(証明終)

on 2018年5月14日 の回答
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主張の対偶は「nが整数のとき 3|nでない⇒3|n²でない」である

n|3はk∈ℤを用いて3k+1,3k+2と表される

1) n=3k+1のとき

n² = (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k)+1

k∈ℤ⇒(3k²+2k)∈ℤ

∴3|n²でない

2) n=3k+2のとき

n²= (3k+2)²= 9k²+12k+4 = 3(3k²+4k+1)+1

k∈ℤ⇒(k²+4k+1)∈ℤ

∴3|n²でない

 

∴1)2)より対偶が真であることが示された

∴主張が示された

on 2018年5月14日 の回答
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