数学 複雑な分数

等式の証明において「A＝Bが成り立つことを証明せよ」と言われたら、証明の中でA＝Bを使ってはいけません。何故なら「A＝B」を証明したい(成り立つかはまだわからない)のに、「A＝Bだから両辺にCをかけてAC＝BC…」などとした時点でアウトです。

今回は「〜＝3」という式を証明しろと言われてるので、これを証明の中で使うことは出来ません。両辺に(a＋b)(b＋c)(c＋a)をかける、とおっしゃっているのはこの等式の両辺にかけようとしているのだと思うのですが、それは誤りとなります。

等式の証明の大まかな考え方は

「A＝Bの証明」ならまずAについて式を変形していって、

A＝○○

＝△△

＝□□

＝B

と、「Aを変形した結果Bになる」というように証明するのが一つのやり方だと思います。



この場合も左辺について変形します。

a＋b＋c＝0のとき、

a＋b＝ーc、a＋c＝ーbより(a＋b)(a＋c)＝cb

b＋c＝ーa、b＋a＝ーcより(b＋c)(b＋a)＝ac

c＋a＝ーb、c＋b＝ーaより(c＋a)(c＋b)＝ba

となります。

なので

(左辺)＝(a²/cb)＋(b²/ac)＋(c²/ba)

＝(a³＋b³＋c³)/(abc)

＝{(a＋b＋c)(a²＋b²＋c²ーabーbcーca)＋3abc}/(abc)

＝3abc/abc

＝3＝(右辺)

となり、等式は成り立ちます。



a³＋b³＋c³＝(a＋b＋c)(a²＋b²＋c²ーabーbcーca)＋3abc

というのは公式みたいなものなので、知らなければ覚えておくとお得だとは思います。

またa＋b＋c＝0ですので、

(a＋b＋c)(a²＋b²＋c²ーabーbcーca)は、

0×(a²＋b²＋c²ーabーbcーca)＝0

というようになりますので、a³＋b³＋c³＝3abcという形になります。

参考です

a＋b＋c＝0　より
①(a＋b)＝－c、(b＋c)＝－a、(c＋a)＝－b
②a³＋b³＋c³－3abc＝(a＋b＋c){a²＋b²＋c²－ab－bc－ca}＝0　から
a³＋b³＋c³＝3abc

①より、左辺＝{a²/bc}＋{b²/ca}＋{c²/ab}
通分し、左辺＝{a³＋b³＋c³}/abc
④より、左辺＝3abc/abc
約分し、左辺＝3＝右辺