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勉強レベル6

数学3の定積分の輪と極限の問題

【質問の答えについて】

この質問の答えはわかりません。

定積分の和と極限の範囲の問題です。子のあとが分子 母のあとは分母です


Σ[k=0~n-1]  子1/ 母(n+k)(2n-k-1) = 子2/母3n-1 Σ [k=0~n-1] 子1/母n+k であることを示し、極限値 lim[n→∞] n Σ [k0~n-1] 子1 / 母(n+k)(2n-k-1)を求めよ


後半の答えは 2/3log2 です。


この問題の取り掛かり方がわかりません。最初の示すのは部分分数分解なのではないかと思い取り掛かってはみたのですがうまくいきませんでした。 どなたかわかる方解説お願いします。 問題はプラスノート数学3 受験型の64番です。

  • Σ[k=0~n-1] 1/(n+k)(2n-k-1)=2/3n-1Σ[k=0~n-1] 1/n+k



    これ, どれが分母でどれが分子かわからないから書き直してもらえます?
    5か月前

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  • 一応書き直しましたがわかりにくくてすいません。

    都合上写真があげられないので
    5か月前

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4回答一覧
与式の左辺のΣの中は{1/(3n-1)}×[{1/(k+n)}- {1/(k-2n+1)}]と変形可能です。

kが動き、nは固定と見るのがポイントです。

あとはわかりますよね。
COLit 5か月前
  • 変形まではわかったのですが、そこからやはり進みません。 もう少し教えていただけないでしょうか
    5か月前

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Σ[k=0~(n-1)]1/(k-2n+1)

=−Σ[k=0~(n-1)]1/(k+n)

ですよ?

kに値を代入して書き出していけば分かると思います。

ちなみに(2)は区分求積法で計算できます。
COLit 5か月前
  • 本当に申し訳ないのですが、変形後代入してもこれといった関係性が見いだせません。

    ご教示お願い致します。
    5か月前

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こうです
COLit 5か月前
  • わざわざありがとうございます!おかげさまで理解できました!
    5か月前

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  • どういたしまして!
    5か月前

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これで分かるでしょう。
COLit 5か月前
ベストアンサー
  • よろしければ後半の区分求積法のほうも教えていただいてよろしいでしょうか?

    前半の結果使ってもよくわからなくて・・・
    5か月前

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  • (*)については左端型区分求積法などで検索してください。

    右端型のタイプのが多いですが、このような計算も成り立つのは区分求積法の原理からわかると思います。

    図を書いてみてください。縦長のn個の長方形の面積を考えればいいです。
    5か月前

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  • わかりやすい解答ありがとうございます!
    5か月前

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