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数学Ⅱ 展開式の項の係数

質問の答えについて

この質問の答えはわかりません。

数学Ⅱ 展開式の項の係数です。


考え方と答えを教えて下さい。




F さんの質問 勉強レベル8
2か月前

回答(2件)


スケールが大きいときや抽象度が高いときは自分の手に追えるスケールに持ち込んで実験し、それを一般化すると考えやすいです。

これをもとに10乗の場合を考えてみてください。

Dog 2か月前
ベストアンサー

僕もDOG先生のやり方で ためしにやってみました。 正直 自信がありませんが・・ 怒らないでくださいね。


(x^2 - 2 x - 1 )^10 は x^2 - 2 x - 1 が 10個集まってできてます。

x^3 の 展開式も必ず10個のかっこから 数字を取ってくることになります。

今、x^2  を P個、-2x を Q個 、-1 を R個 とってくると、P+Q+R=10  ①  です。

さらに (x^2 - 2 x - 1 )^10 を 展開してみると 一般項は (- 1 )^ R ×( - 2 x )^ Q × (x^2 )^ P = ( - 1 )^ (Q + R ) × 2^ Q ×x^ (2P + Q ) の形になってます。x^3 の 項は 3乗 なので、 2 P + Q = 3 ②  です。

P,Q、R は いずれも 0≦P,Q,R≦10 の範囲の整数です。

② より Q = 3 - 2 P  

ですが 、もし Pが2だと、 Q = - 1 になり、 Qがプラスの数字ではなくなります。

ゆえに Qがプラスであるためには P=1 のみということになると思います。

ゆえに Q=3-2P=1  、   R=10-P-Q=8

つまり ①、② 、 0≦P、Q、R≦10 を満たす P、Q、R の組み合わせは P=1、Q=1 、 R=8  ということになります。


ゆえに x^3 の 係数は (-1 )^ (Q + R ) × 2^Q × x^(2 P + Q ) = ( - 1 )^9 × 2^1 × x^3 = - 2 x^3

つまり -2 です。

自信がありませんので、あくまで 参考程度にしてください。

違ってたら すみません。



keisangakkou 2か月前
  • p=0 q=3 r=7 のときは含まれませんか?

    2か月前
  • そうでした。 おっしゃるとおりです。 やっぱり間違えちゃいましたね。


    そうなると、 

    P = 1 , Q = 1 , R = 8 のとき、 ( -1 )^(Q + R ) × 2^Q ×x^(2 P + Q ) = - 2 x^3  で

    P = 0 , Q = 3 , R = 7  のとき、 ( - 1 )^10 ×2^3 ×x^3 = 8 x^3 で

    両方足して、 6x^3  です。

    違ってて すみません。

    2か月前
  • いえ、回答ありがとうございました!

    いつも助けて頂きありがとうございます!

    2か月前
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