質問
高校数学 の問題でわからないところの質問です

次の平方の和の公式を導け Σ[n,k=1]k^2=1^2+2^2...n^2=n(n+1)(2...

次の平方の和の公式を導け Σ[n,k=1]k^2=1^2+2^2...n^2=n(n+1)(2n+1)/6 という問題なのですが、いったい何を求めればいいのでしょうか?

高校数学のお悩みに オンライン家庭教師 が解説しました!

農場長先生
オンライン家庭教師って?

先生の解説

1^2+2^2+…+n^2 をまとめると、 {n(n+1)(2n+1)}/6  と表されることを頑張りなさい、という問題です。 そのまとめ方ですが、(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 を利用します。 k=1 のとき、 2^3 - 1^3 k=2 のとき、 3^3 - 2^3 k=3 のとき、 4^3 - 3^3 以下、続けていきます。 k=n-1 のとき、 n^3 - (n-1)^3 k=n のとき、 (n+1)^3 - n^3 これを全部足すことは、Σ[n,k=1](3k^2+3k+1) をすることと同じです。 ちなみに、全部足すと、左上と右下が打ち消し合うので、(n+1)^3 - 1^3 になります。 Σ[n,k=1](3k^2+3k+1) を1つの項ごとに分けると、 Σ[n,k=1](3k^2) +Σ[n,k=1](3k) +Σ[n,k=1]1 = 3×Σ[n,k=1](k^2) +3×Σ[n,k=1]k + n ここで、 Σ[n,k=1]k = {n(n+1)}/2 はわかっていることとして利用すると、 (n+1)^3 - 1^3 = 3×Σ[n,k=1](k^2) +3×{n(n+1)}/2 + n 3×Σ[n,k=1](k^2) = (n+1)^3 - 1 - 3×{n(n+1)}/2 - n 右辺を整理して、3×Σ[n,k=1](k^2) =  {n(n+1)(2n+1)}/2 両辺を3で割って、 Σ[n,k=1](k^2) =  {n(n+1)(2n+1)}/6 を導きます。

解説をしてくれた先生はこの方

農場長 オンライン家庭教師

自己紹介

一応、中学校と高校の数学の免許を持っています。 でも、高校はかなり忘れてしまっていると思うので不安もあります。 出来る限り丁寧な解答を心掛けます。 一応、中学校と高校の数学の免許を持っています。 でも、高校はかなり忘れてしまっていると思うので不安もあります。 出来る...

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