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数列の問題です。

次の平方の和の公式を導け

Σ[n,k=1]k^2=1^2+2^2...n^2=n(n+1)(2n+1)/6

という問題なのですが、いったい何を求めればいいのでしょうか?

回答(1件)

ベストアンサー
1^2+2^2+…+n^2 をまとめると、 {n(n+1)(2n+1)}/6  と表されることを頑張りなさい、という問題です。

そのまとめ方ですが、(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 を利用します。

k=1 のとき、 2^3 - 1^3

k=2 のとき、 3^3 - 2^3

k=3 のとき、 4^3 - 3^3

以下、続けていきます。

k=n-1 のとき、 n^3 - (n-1)^3

k=n のとき、 (n+1)^3 - n^3



これを全部足すことは、Σ[n,k=1](3k^2+3k+1) をすることと同じです。

ちなみに、全部足すと、左上と右下が打ち消し合うので、(n+1)^3 - 1^3 になります。



Σ[n,k=1](3k^2+3k+1) を1つの項ごとに分けると、

Σ[n,k=1](3k^2) +Σ[n,k=1](3k) +Σ[n,k=1]1

= 3×Σ[n,k=1](k^2) +3×Σ[n,k=1]k + n



ここで、 Σ[n,k=1]k = {n(n+1)}/2 はわかっていることとして利用すると、

(n+1)^3 - 1^3 = 3×Σ[n,k=1](k^2) +3×{n(n+1)}/2 + n

3×Σ[n,k=1](k^2) = (n+1)^3 - 1 - 3×{n(n+1)}/2 - n

右辺を整理して、3×Σ[n,k=1](k^2) =  {n(n+1)(2n+1)}/2

両辺を3で割って、 Σ[n,k=1](k^2) =  {n(n+1)(2n+1)}/6 を導きます。
個人家庭教師
農場長 個人家庭教師 鹿児島県/鹿児島中央駅 1年前
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