指数、対数関数

【質問の答えについて】

この質問の答えはわかりません。

解き方がわかりません。回答よろしくお願いします。

 

指数、対数関数

 

コメントする
    ベストアンサー

    (1)  基本事項 『底の変換公式』  log(a)b=(log(c)b)/(log(c)a)      ()が底   log(a)a=1                log(a)√a=1/2

    (ⅰ)     2y=2(log(a)x)^2-5log(√a)x+8  → 2y=2(log(a)x)^2-5(log(a)x)/(log(a)√a)+8  → 2y=2(log(a)x)^2-5×2(log(a)x)+8    → log(a)x=Xとおくと、 2y=2X^2-10X+8   → y=X^2-5X+4

    y<0 より X^2-5X+4<0   → (X-1)(X-4)<0   →   1<X<4  →  1<log(a)x<4  →   a<x<a^4

    (ⅱ)  y=X^2-5X+4=(X-5/2)^2-9/4  より   X=5/2  →log(a)x=5/2   → x=a^(5/2) のとき 最小値 -9/4

    (2)  基本事項  log(a)XY=log(a)X+log(a)Y     および(1) の底の変換公式も使います。       log(3)x=X   ,  log(3)y=Y   とおくと

    log(3x)y+log(3)y=1   → (log(3)y)/(log(3)3x)+log(3)y=1    → (log(3)y)/(1+log(3)x)+log(3)y=1  →  Y/(1+X)+Y=1    ①

    log(3)xy=1/2   →  log(3)x+log(3)y=1    →  X+Y=1 /2  ②  X=1/2-Y ①に代入   ゆえにY/(-y+3/2)+Y=1

    (2Y-1)(Y-3)=0    ゆえに Y=1/2    Y=3

    ア、  Y=1/2  のとき ②より  X=0          ゆえに Y=log(3)y=1/2   y=√3 ,    X=log(3)x=0   x=1

    イ、        Y=3  のとき ② より X=-5/2   ゆえに Y=log(3)y=3   y=3^3=27   ,    X=log(3)x=-5/2    x=3^(-5/2)=-√3/27

    以上です。違ってたらすみません。(^^;)

    勉強レベル19 on 2018年6月9日 の回答

    回答ありがとうございます‼

    分かりやすかったです。

    on 2018年6月9日.
    コメントする

    以下対数の底は[α]のように表します
    問題を解く方針は
    ・対数の底は揃える
    ・ある対数を文字(tやpやq)で置いて考える
    を頭に入れておくと良いと思います。

    (1)
    log[√a]x=(log[a]x)/(log[a]√a)
    =(log[a]x)/{log[a]a^(1/2)}
    =(log[a]x)/{(1/2)log[a]a}
    =(log[a]x)/(1/2)
    =2log[a]x

    log[a]x=tとして、与式は
    2y=2t²ー10t+8
    y=t²ー5t+4…①

    (ⅰ)yく0のとき①よりt²ー5t+4く0

    整理して
    (tー1)(tー4)く0

    これを解いて
    1くtく4

    tを戻して
    1くlog[a]xく4

    1と4をそれぞれlog[a]にして
    log[a]aくlog[a]xくlog[a]a⁴

    底aは1くaを満たすので
    aくxくa⁴

    (ⅱ)①を変形して
    y={tー(5/2)}²ー9/4

    t=5/2のとき、すなわちlog[a]x=5/2のとき、yは最小値をとる。
    したがって
    x=a^(5/2)
    のときyは最小値ー9/4をとる。

    (2)
    log[3x]y=(log[3]y)/(log[3]3x)
    ここで
    log[3]3x
    =log[3]3+log[3]x
    =1+log[3]x
    なので
    (log[3]y)/(log[3]3x)
    =(log[3]y)/(1+log[3]x)

    log[3]xy
    =log[3]x+log[3]y

    ここでlog[3]x=p、log[3]y=qとおくと、与えられた連立方程式は

    {q/(1+p)}+q=1

    p+q=1/2

    整理して
    2qーp+pq=1…①

    p+q=1/2…②

    ②よりq=(1/2)ーpで、これを①に代入して
    1ー2pーp+(1/2)pーp²=1
    p²+(5/2)p=0
    p(p+5/2)=0
    よってp=ー5/2、0
    p=ー5/2のときq=3
    p=0のときq=1/2

    log[3]x=ー5/2のときlog[3]y=3
    よって
    x=3^(ー5/2)
    =√(1/3)⁵
    =1/(9√3)
    =(√3)/27
    のとき
    y=3³=27

    log[3]x=0のときlog[3]y=1/2
    よって
    x=3⁰=1のとき
    y=3^(1/2)=√3

    以上から
    (x,y)=(1, √3)、((√3)/27, 27)

    勉強レベル20 on 2018年6月9日 の回答
    コメントする

    回答ありがとうございます‼

    解けました。

     

    勉強レベル3 on 2018年6月9日 の回答
    コメントする

    この質問は解決済みです