指数、対数関数

【質問の答えについて】

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指数、対数関数

 

勉強レベル3 on 2018年6月7日 の質問 数学(高校)に関する質問.
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keisangakkou
さんは家庭教師をしています

数学教えます。 放送大学卒。 

ベストアンサー

(1)  基本事項 『底の変換公式』  log(a)b=(log(c)b)/(log(c)a)      ()が底   log(a)a=1                log(a)√a=1/2

(ⅰ)     2y=2(log(a)x)^2-5log(√a)x+8  → 2y=2(log(a)x)^2-5(log(a)x)/(log(a)√a)+8  → 2y=2(log(a)x)^2-5×2(log(a)x)+8    → log(a)x=Xとおくと、 2y=2X^2-10X+8   → y=X^2-5X+4

y<0 より X^2-5X+4<0   → (X-1)(X-4)<0   →   1<X<4  →  1<log(a)x<4  →   a<x<a^4

(ⅱ)  y=X^2-5X+4=(X-5/2)^2-9/4  より   X=5/2  →log(a)x=5/2   → x=a^(5/2) のとき 最小値 -9/4

(2)  基本事項  log(a)XY=log(a)X+log(a)Y     および(1) の底の変換公式も使います。       log(3)x=X   ,  log(3)y=Y   とおくと

log(3x)y+log(3)y=1   → (log(3)y)/(log(3)3x)+log(3)y=1    → (log(3)y)/(1+log(3)x)+log(3)y=1  →  Y/(1+X)+Y=1    ①

log(3)xy=1/2   →  log(3)x+log(3)y=1    →  X+Y=1 /2  ②  X=1/2-Y ①に代入   ゆえにY/(-y+3/2)+Y=1

(2Y-1)(Y-3)=0    ゆえに Y=1/2    Y=3

ア、  Y=1/2  のとき ②より  X=0          ゆえに Y=log(3)y=1/2   y=√3 ,    X=log(3)x=0   x=1

イ、        Y=3  のとき ② より X=-5/2   ゆえに Y=log(3)y=3   y=3^3=27   ,    X=log(3)x=-5/2    x=3^(-5/2)=-√3/27

以上です。違ってたらすみません。(^^;)

on 2018年6月9日 の回答

回答ありがとうございます‼

分かりやすかったです。

on 2018年6月9日.
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よっしー
さんは家庭教師をしています

家庭教師歴は約5年です。学生時代に1年ほど、社会人として2014年から2018年8月現在まで。生徒さんの勉強指導だけでなく進路指導であったり親御さんの悩み相談にも乗ります。 優しさと厳しさ7:3ほどのバランスを目指して楽しく授業を作ることを心がけています。おしゃべりな子でもおとなしい子でもやん...

以下対数の底は[α]のように表します
問題を解く方針は
・対数の底は揃える
・ある対数を文字(tやpやq)で置いて考える
を頭に入れておくと良いと思います。

(1)
log[√a]x=(log[a]x)/(log[a]√a)
=(log[a]x)/{log[a]a^(1/2)}
=(log[a]x)/{(1/2)log[a]a}
=(log[a]x)/(1/2)
=2log[a]x

log[a]x=tとして、与式は
2y=2t²ー10t+8
y=t²ー5t+4…①

(ⅰ)yく0のとき①よりt²ー5t+4く0

整理して
(tー1)(tー4)く0

これを解いて
1くtく4

tを戻して
1くlog[a]xく4

1と4をそれぞれlog[a]にして
log[a]aくlog[a]xくlog[a]a⁴

底aは1くaを満たすので
aくxくa⁴

(ⅱ)①を変形して
y={tー(5/2)}²ー9/4

t=5/2のとき、すなわちlog[a]x=5/2のとき、yは最小値をとる。
したがって
x=a^(5/2)
のときyは最小値ー9/4をとる。

(2)
log[3x]y=(log[3]y)/(log[3]3x)
ここで
log[3]3x
=log[3]3+log[3]x
=1+log[3]x
なので
(log[3]y)/(log[3]3x)
=(log[3]y)/(1+log[3]x)

log[3]xy
=log[3]x+log[3]y

ここでlog[3]x=p、log[3]y=qとおくと、与えられた連立方程式は

{q/(1+p)}+q=1

p+q=1/2

整理して
2qーp+pq=1…①

p+q=1/2…②

②よりq=(1/2)ーpで、これを①に代入して
1ー2pーp+(1/2)pーp²=1
p²+(5/2)p=0
p(p+5/2)=0
よってp=ー5/2、0
p=ー5/2のときq=3
p=0のときq=1/2

log[3]x=ー5/2のときlog[3]y=3
よって
x=3^(ー5/2)
=√(1/3)⁵
=1/(9√3)
=(√3)/27
のとき
y=3³=27

log[3]x=0のときlog[3]y=1/2
よって
x=3⁰=1のとき
y=3^(1/2)=√3

以上から
(x,y)=(1, √3)、((√3)/27, 27)

千葉県 / 千葉駅 家庭教師 on 2018年6月9日 の回答
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urutoramann
さんは家庭教師をしています

回答ありがとうございます‼

解けました。

 

on 2018年6月9日 の回答
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