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情報次元(フラクタル)

【質問の答えについて】

この質問の答えはわかりません。

大学数学、フラクタル図形についての質問②です。

情報次元についてですが、様々なサイトや本を見ていたのですが、分かりやすい例がなくて困っています。

2次元図形でも1次元図形でも良いので、イメージしやすい情報次元の具体例を教えてくれませんでしょうか?

以下が私がメインで読んでいる本に出てきた情報次元の定義です。

次元を測る図形の上に、n個の同じ大きさのセルまたは箱のグリッドを重ねた2次元の場合を考える。

ここで情報量Iを算出するための各確率P_iは, i番目の箱に入っている図形の要素の数を, N という要素の総数で、割った結果を表す。これは,まさにi番目の箱に入る図形要素の相対的頻度( relative frequency )である。

Iは以下の式によって計算される:

I=Σ[i=1,N](P_i)log[2](P_i) ※[2]は底2を表しています。

もしある箱に図形要素が入っていなければ、対応する確率P_iは0となって、この場合は情報量Iへの寄与はない。 bを適当な範囲内にある箱の側面の辺長とするとき、観測結果はIがlog(1/b)の関数として線形的に増加することを示している。もちろん,箱のサイズが大き過ぎて図形全体が1つの箱に収まる場合は、P=N/N=1なので、I=0となる。

他方、箱サイズが小さ過ぎる場合、どの箱にも高々1つの要素だけがありそれによって、0でない確率P_iは1/Nに等しい。

情報次元は以下のように与えられる。

D_I=lim[b→0]{I/log[2](1/b)}
退会済みユーザー さんの質問 勉強レベル2
7か月前

回答1件

I=-Σ(P_i)log[2](P_i)

ですか?



カントール集合を考えます。

すなわち

A[1]=[0,1/3]∪[2/3,1]

A[2]=[0,1/9]∪[2/9,1/3]∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]



としたときの∩A[i]です。



b=1/3^Mとすると、0でない確率は1/2^Mなので

I=-Σ(1/2^M)log(1/2^M)

=M



よって

D_I=lim[M→∞]{M/log(3^M)}

=1/log[2](3)

ですかね?
tamu 愛媛県/鎌田駅 7か月前
ベストアンサー
  • ご回答ありがとうございます。質問文でIの式に-を入れるのを忘れておりました。すみません。

    b=1/3^Mの時は、何も要素が入っていない箱を除き、それぞれの箱に図形全体の1/2^Mが入っているから、それぞれの確率(それぞれの箱の図形要素の相対的頻度)は1/2^Mとなるという認識で大丈夫でしょうか?

    そして、もう一つ質問したいこととしては、2次元の場合は長方形ではなく正方形を箱としなくてはいけないのでしょうか?

    https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%94%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%82%AE%E3%83%A3%E3%82%B9%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88

    シェルピンスキーの三角形について情報次元を求めようとするときは、正方形で1つの正三角形を覆う時に、一辺の長さと高さの値が違うのでうまく正方形に入れることができません。もし長方形で覆えるのならば手計算でも求められますが、覆う場合は正方形でないと駄目なのでしょうか?
    7か月前

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  • カントール集合の方はそれで大丈夫です。



    2次元の時は縦と横の比が一定の長方形なら大丈夫だと思います。

    (シェルピンスキーの三角形なら縦√3/2b横bの長方形)

    ただ、ここは余り詳しくはないので、先生に聞いてもらった方が良いかもしれません。
    7か月前

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  • ありがとうございます!

    今日それについての講義があるので、先生に聞いてみたいと思います。
    7か月前

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tamu
さんは個別指導塾講師をしています

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