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微分積分

微分積分です。

二項定理の使い方がわかりません。教えてください。

a > 0です。



微分積分

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
iwakagami
生徒
さん の回答 1年前

ひょっとして、問題は

lim[n→∞][a^(1/n)] (a>0)

ですか?

(ⅰ)a>1 のとき

a^(1/n)=1+a[n] (a[n]>0)とすると

a=(1+a[n])^n=1+na[n]+n(n-1)/2・a[n]^2+・・・+a[n]^n>n・a[n]

ゆえに

0<a[n]<a/n

n→∞ のとき a{n}→0

よって

a^(1/n)→1

(ⅱ)a=1 のときは明らか。

(ⅲ)0<a<1 のとき

b=1/a とすれば、b>1

ゆえに (ⅰ)より

b^(1/n)→1

よって

a^(1/n)=1/b^(1/n)→1

です。

 

n^(1/n)であれば、

n^(1/n)>1 なので、n^(1/n)=1+a[n] (a[n]>0)とおくと、

n=(1+a[n])^n=1+na[n]+n(n-1)/2・a[n]^2+・・・+a[n]^n>1+n(n-1)/2・a[n]^2

ゆえに

n-1>n(n-1)/2・a[n]^2

これより

0<a[n]^2<2/n

n→∞ のとき a{n}→0

よって

n^(1/n)→1

です。

tamu先生
先生
先生 の回答 1年前
log[n]√n=logn/n

n=e^tとおくと

=t/e^t

です。



t &gt; 0の時

e^t &gt; 1+t+t^2/2

より

0 &lt; t/e^t &lt; t/(1+t+t^2/2)

ここで

lim[t→∞]t/(1+t+t^2/2)=0

なので、はさみうちの原理より

lim[t→∞]t/e^t=0



従って

lim[n→∞]log[n]√n=0

lim[n→∞][n]√n=1

となります。
あなたがベストアンサーに選んだ
tamu
さんは先生をしています

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